Par de Wieferich
En matemáticas, un par de Wieferich es un par de números primos p y q que satisfacen
- pq - 1 ≡ 1 (mod q2) y qp - 1 ≡ 1 (mod p2)
Llevan el nombre del matemático alemán Arthur Josef Alwin Wieferich. Los pares de Wieferich juegan un papel importante en la prueba hallada por Preda Mihăilescu[1] en 2002 del teorema de Mihăilescu (anteriormente conocido como la conjetura de Catalan).[2]
Parejas de Wieferich conocidas[editar]
Solo se conocen 7 pares de primos de Wieferich:[3][4]
- (2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) y (2903, 18787) (Secuencias A124121 y A124122 en OEIS)
Tripletes de Wieferich[editar]
Un triplete de Wieferich es un trío de números primos p, q y r que satisfacen
- pq - 1 ≡ 1 (mod q2), qr - 1 ≡ 1 (mod r2), y rp - 1 ≡ 1 (mod p2).
Hay 17 tripletes de Wieferich conocidos:
- (2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (3, 1006003, 3188089), (5, 20771, 18043), (5, 20771, 950507), ( 5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401, 2953), (83, 13691, 821), (199, 1843757, 2251), (431, 2393, 54787) y (1657, 2281, 1667) (Secuencias A253683, A253684 y A253685 en OEIS)
Secuencia de Barker[editar]
La secuencia de Barker o n-tupla de Wieferich es una generalización del par y del triple de Wieferich. Son primos (p1, p2, p3, ..., pn) tales que
- p1p2 - 1 ≡ 1 (mod p22), p2p3 - 1 ≡ 1 (mod p32), p3p4 - 1 ≡ 1 (mod p 42), ..., pn−1pn - 1 ≡ 1 (mod pn2), pnp1 - 1 ≡ 1 (mod p12).[5]
Por ejemplo, (3, 11, 71, 331, 359) es una secuencia de Barker, o una 5-tupla de Wieferich; (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) es una secuencia de Barker, o una 10 tupla de Wieferich.
Para cada una de las n-tuplas de Wieferich más pequeñas, consúltese (sucesión A271100 en OEIS). Para el conjunto ordenado de todas las tuplas de Wieferich, consúltese (sucesión A317721 en OEIS).
Secuencia de Wieferich[editar]
La secuencia de Wieferich es un tipo especial de secuencia de Barker. Todo entero k>1 tiene su propia secuencia de Wieferich. Para hacer una sucesión de Wieferich de un entero k>1, comiéncese con a(1)=k, a(n) = el menor primo p tal que a(n-1)p-1 = 1 (mod p) pero a(n-1) ≠ 1 o -1 (mod p). Es una conjetura que todo entero k>1 tiene una secuencia periódica de Wieferich. Por ejemplo, la secuencia de Wieferich de 2:
- 2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., genera un ciclo: {5, 20771, 18043} (un triplete de Wieferich)
La secuencia de Wieferich de 83:
- 83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., genera un ciclo: {83, 4871} (un par Wieferich)
La sucesión de Wieferich de 59: (esta sucesión necesita más términos para ser periódica)
- 59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ... también resulta 5.
Sin embargo, hay muchos valores de a(1) con estado desconocido. Por ejemplo, la secuencia de Wieferich de 3:
- 3, 11, 71, 47, ? (no se conocen primos de Wieferich en base 47).
La secuencia de Wieferich de 14:
- 14, 29, ? (No hay primos Wieferich conocidos en base 29 excepto 2, pero 22 = 4 divide 29 - 1 = 28)
La secuencia Wieferich de 39:
- 39, 8039, 617, 101, 1050139, 29, ? (también resulta 29)
Se desconoce que existan valores para "k" tales que la secuencia de Wieferich de "k" no se vuelva periódica. Eventualmente, se desconoce que existan valores para k tales que la secuencia de Wieferich de k sea finita.
Cuando a(n - 1)=k, a(n) se obtiene (empezando con k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281, ?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19, ?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829, ?, 257, 491531, ?, ... (para k = 21 , 29, 47, 50, incluso se desconoce el siguiente valor)
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Preda Mihăilescu (2004). «Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture». J. Reine Angew. Math. 2004 (572): 167-195. MR 2076124. doi:10.1515/crll.2004.048.
- ↑ Jeanine Daems A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture Archivado el 21 de febrero de 2006 en Wayback Machine..
- ↑ Weisstein, Eric W. «Double Wieferich Prime Pair». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- ↑ A124121, Por ejemplo, actualmente se conocen dos pares primos dobles de Wieferich (p, q) con q= 5: (1645333507, 5) y (188748146801, 5).
- ↑ «List of all known Barker sequence». Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2016. Consultado el 23 de septiembre de 2022.