Permutación con repetición

Una permutación con repetición consiste en una permutación de m elementos, de los cuales hay varios que son iguales entre sí. Y por tanto, a la hora de calcular las distintas formas de ordenar los m elementos hay diferencias con respecto a si no hubiese elementos iguales.

Definición

Dado un conjunto finito A de m elementos distintos, se entiende como permutaciones de ellos a las distintas formas en las que pueden ordenarse. El número de permutaciones (órdenes) distintos de los m elementos es m!, es decir, el factorial del número de elementos.

$Pm=m!=m(m-1)(m-2)\cdots 1\,\!$.

Por ejemplo, dado un conjunto A = {1, 2, 3} (n.º de elementos = m = 3), las permutaciones de los elementos de dicho conjunto son: 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Se obtiene 6 ordenaciones distintas de los elementos y se verifica que n.º de permutaciones = 3! = 6.

Permutaciones con repetición

Supongamos que en el conjunto de los m elementos no son todos distintos entre sí, sino que hay un elemento x₁ que se repite m₁ veces, un elemento x₂ que se repite m₂ veces, ..., un elemento x_n que se repite m_n veces.

Entonces, el número de permutaciones de los elementos que se repiten son:

Permutaciones de x₁ → m₁!

Permutaciones de x₂ → m₂!

             .
             .
             .

Permutaciones de x_n → m_n!

Estas permutaciones de elementos idénticos son iguales entre sí. Y por lo tanto, las diferentes formas que ordenar los m elementos serían:

${P}_{m}^{m_{1},m_{2},...,m_{n}}={\frac {m!}{{m}_{1}!{m}_{2}!...{m}_{n}!}}$

Ejemplos

• ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con {1, 1, 1, 2, 2}?

${P}_{5}^{3,2}={\frac {5!}{3!2!}}={\frac {120}{12}}=10$

• Si se sabe que se lanza una moneda 10 veces y se obtiene el mismo número de caras que de cruces, ¿cuántas formas posibles y diferentes hay de que haya ocurrido esto?

${P}_{10}^{5,5}={\frac {10!}{5!5!}}={\frac {3628800}{14400}}=252$

• En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

${P}_{9}^{3,2,4}={\frac {9!}{3!2!4!}}={\frac {362880}{288}}=1260$

Véase también

• Permutaciones (sin repetición)
• Variaciones
• Coeficiente binomial
• Combinaciones con repetición

Referencias

1. Liu, Chung Laung (1995). «4». Elementos de Matemáticas Discretas (Segunda edición). Illinois: Mc Graw Hill. p. 111. ISBN 970-10-0743-3. 

1. Boada, Antonio (2017). «USO DE LA PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN COMO ENSEÑANZA DE EXPERIMENTOS BINOMIALES». Revista de Comunicación 'Vivat Academia' (Segunda edición) (España). pp. 45-54. ISSN 1575-2844. 

• Datos: Q109424435