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Progresión armónica (matemática)

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En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos.

Definición

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Dados tres números m, n, p se dice que están en razón armónica si .[1]

Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica.

Ejemplos

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  • 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...
  • Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... donde n es un entero positivo.
la serie es divergente cuando n tiene a infinito, aunque
el término general 1/n tiende a 0, cuando n tiende a infinito.[2]

Proposición

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Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica.

Prueba

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Se tiene
de donde
dividiendo cada término por mnp
lo que demuestra la proposición.

Media armónica

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Sean m y n dos números y H su media armónica, por lo demostrado (donde "m" es el número mayor y ·"n"· el número menor):
O sea
Finalmente
Propiedad

Si A, G, H son las medias aritmética, geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica.

Esto es o bien

La media armónica de m y n es , que se puede escribir

, o de otra manera (α)

De otro lado y en (α) se tiene

, de donde se obtiene , con lo que se prueba la relación

Véase también

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Referencias

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  1. Hall-Knight: álgebra superior, Uteha, México 1982
  2. Leithold: Cálculo con geometría analítica