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Purificación de estados cuánticos

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En mecánica cuántica, especialmente en el campo de la información cuántica, la purificación se refiere al hecho que cada estado mixto actuando en un espacio de Hilbert de dimensión finita puede ser visto como el estado reducido de algún estado puro.

En términos puramente algebraicos, esto puede ser considerado como una proposición de las matrices semidefinidas positivas .

Proposición

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Sea una matriz densidad que actúa en un espacio de Hilbert de dimensión finita . Entonces existe un espacio de Hilbert espacio y un estado puro tal que la traza parcial de con respecto a es

Se dice que es la purificación de .

Demostración

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Una matriz densidad es por definición semidefinida positiva. Así que puede ser diagonalizada y escrita como en alguna base . Sea otra copia del espacio de Hilbert -dimensional con una base ortonormal . Se define por[1]

Un cálculo directo da

Esto prueba la proposición.

Notas

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  • Dado que la raíz cuadrada de una matriz semidefinida positiva no es única, tampoco lo es su purificación.
  • En términos algebraicos, una matriz cuadrada es semidefinida positiva si y solo si se puede purificar en el sentido expuesto arriba. El si la parte de la implicación se sigue inmediatamente del hecho que la traza parcial de una aplicación positiva es otra aplicación positiva (por el teorema de Choi).

Referencias

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  1. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. ISBN 9781107002173.