Un
-análogo es un término matemático, que aparece en particular en combinatoria. Un análogo de
generaliza un enunciado matemático con la ayuda de un parámetro adicional
, de modo que en el caso de
el enunciado original vuelve a obtenerse. El término también juega un papel importante en la teoría de funciones especiales, particularmente en la teoría de los polinomios
.
Ejemplos elementales[editar]
Un número natural
tiene el
-análogo
![{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1229d48f813c876ff707ad8166e1124d42311f44)
donde
.
Combinatoria[editar]
q-factorial[editar]
el
-factorial se define para
como:[1]
![{\displaystyle [n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df14de70919ff373013473c25be7314ac4c94f0)
con
.
Al multiplicar se obtiene
![{\displaystyle [n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8f485fa026fd2038b3ec8cf0d9e87e3d40c4d7)
Símbolo q-Pochhammer[editar]
El símbolo
-Pochhammer, se define como
![{\displaystyle (a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2e16e00318be845f6aa61dd7b64a90aaf18993)
o generalizando a más de un término como
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2653173a787de73d785bfdf6334853dd1807fca)
Coeficiente q-binomial[editar]
El coeficiente
-binomial se define como
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9a19e087b5154a568627a24edf726cc23290e)
Propiedades[editar]
Se aplica que
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a4a802c46c694da369a6ec8eb99270e1a0ff9b)
y
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238c95298c74c6bd84b5cef6e77c722016f02050)
Funciones especiales q[editar]
Función q-hipergeométrica[editar]
El
-análogo de la función hipergeométrica generalizada es la función
-hipergeométrica[1]
![{\displaystyle \;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee6cb2d96fb9effb761102d5e9107862f3da590)
Polinomio q-ortogonal[editar]
Los
-polinomios hermitianos constantes
vienen dados por la siguiente recursión[2]
![{\displaystyle 2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4c396f0ee15ae61bf646ac867787f27ade575e)
con valores iniciales
![{\displaystyle H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c439b7117c3ab86f8d11a6ccdcfd6500190b8b)
El
-análogo de la función exponencial es
![{\displaystyle e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e67725d2471da70f47286cf5c9ffbce92d0d2d)
El
-análogo de la derivada de una función
es la q-derivada o derivada de Jackson
![{\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd592f62fcfbc8d9510b79aa395d92bcc827d50)
esto da como resultado el llamado q-cálculo.
q-Serie de Taylor[editar]
El
-análogo de
es
![{\displaystyle (x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3cb2a7ae0e5f8e7d0a1bac59ddeb3d8760e9260)
que junto con la
-derivada y el
-factorial pueden usarse para definir el
-análogo de la serie de Taylor para
dada
![{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2e2a813996d5e4dc4085e03738ee561a753721)
Referencias[editar]
- ↑ a b *Mourad E.H. Ismail (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107325982.
- ↑ *Mourad E.H. Ismail (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107325982.
Bibliografía[editar]
- Mourad E.H. Ismail (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107325982.
Enlaces externos[editar]
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «/U/u095050», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
- Weisstein, Eric W. «q-Analog». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «q-Bracket». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «q-Factorial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «q-Binomial Coefficient». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.