Relleno con círculos de un triángulo equilátero

El relleno con círculos de un triángulo equilátero es un problema de empaquetado estudiado en matemáticas discretas. Consiste en acomodar n círculos de radio unidad en el triángulo equilátero más pequeño posible.

Soluciones

Se conocen las soluciones óptimas para n < 13 y para cualquier número triangular de círculos, y en los años 1990 se formularon conjeturas para n < 28.^[1]^[2]^[3]

Una conjetura de Paul Erdős y Norman Oler indica que, si $n$ es un número triangular, entonces los empaquetamientos óptimos de los $n -1$ y de los $n$ círculos tienen la misma longitud lateral: es decir, según la conjetura, se puede encontrar un empaquetamiento óptimo para $n -1$ círculos eliminando cualquier círculo individual del empaquetamiento hexagonal óptimo para $n$ círculos.^[4] Esta conjetura ahora se sabe que es verdadera para $n \leq 15$ .^[5]

Soluciones mínimas y su longitud del lado del triángulo asociado para círculos de radio uno:^[1]

Número de círculos	Número triangular	Longitud	Área
1	Sí	$2{\sqrt {3}}$ = 3.464...	5.196...
2	No	$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...	12.928...
3	Sí	$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...	12.928...
4	No	$4{\sqrt {3}}$ = 6.928...	20.784...
5	No	$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...	24.124...
6	Sí	$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...	24.124...
7	No	$2+4{\sqrt {3}}$ = 8.928...	34.516...
8	No	$2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}$ = 9.293...	37.401...
9	No	$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...	38.784...
10	Sí	$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...	38.784...
11	No	$4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}$ = 10.730...	49.854...
12	No	$4+4{\sqrt {3}}$ = 10.928...	51.712...
13	No	$4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}$ = 11.406...	56.338...
14	No	$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...	56.908...
15	Sí	$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...	56.908...

Un problema estrechamente relacionado es cubrir el triángulo equilátero con un número fijo de círculos iguales, teniendo un radio tan pequeño como sea posible.^[6]

Véase también

Relleno con círculos de un triángulo isósceles rectángulo
Círculos de Malfatti, una construcción que brinda la solución óptima para tres círculos en un triángulo equilátero

Referencias

↑ ^a ^b Melissen, Hans (1993), «Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle», American Mathematical Monthly 100 (10): 916-925, MR 1252928, doi:10.2307/2324212 ..
↑ Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), «Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle», Discrete Mathematics 145 (1-3): 333-342, MR 1356610, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C ..
↑ Graham, R. L.; Lubachevsky, B. D. (1995), «Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond», Electronic Journal of Combinatorics 2: Article 1, approx. 39 pp. (electronic), MR 1309122 ..
↑ Oler, Norman (1961), «A finite packing problem», Canadian Mathematical Bulletin 4: 153-155, MR 0133065, doi:10.4153/CMB-1961-018-7 ..
↑ Payan, Charles (1997), «Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler», Discrete Mathematics (en francés), 165/166: 555-565, MR 1439300, doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4 ..
↑ Nurmela, Kari J. (2000), «Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles», Experimental Mathematics 9 (2): 241-250, MR 1780209, doi:10.1080/10586458.2000.10504649 ..

Datos: Q5121502

[Melissen-1] Melissen, Hans (1993), «Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle», American Mathematical Monthly 100 (10): 916-925, MR 1252928, doi:10.2307/2324212 ..

[2] Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), «Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle», Discrete Mathematics 145 (1-3): 333-342, MR 1356610, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C ..

[3] Graham, R. L.; Lubachevsky, B. D. (1995), «Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond», Electronic Journal of Combinatorics 2: Article 1, approx. 39 pp. (electronic), MR 1309122 ..

[4] Oler, Norman (1961), «A finite packing problem», Canadian Mathematical Bulletin 4: 153-155, MR 0133065, doi:10.4153/CMB-1961-018-7 ..

[5] Payan, Charles (1997), «Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler», Discrete Mathematics (en francés), 165/166: 555-565, MR 1439300, doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4 ..

[6] Nurmela, Kari J. (2000), «Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles», Experimental Mathematics 9 (2): 241-250, MR 1780209, doi:10.1080/10586458.2000.10504649 ..

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]