Este artículo se refiere al operador del movimiento de rotación, tal como aparece en la mecánica cuántica.
Rotaciones en mecánica cuántica
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Para cada rotación física R, se postula un operador de rotación (rotacional) mecánica cuántica D(R) que denota la rotación de los estados mecánicos cuánticos.
![{\displaystyle |\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ba5f50a98143f413f715cb27bdcab4c1556644)
En cuanto a los generadores de rotación,
![{\displaystyle D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142eda124e19a277f0eef091bfe3015202aa05df)
siendo
el eje de rotación, y
el momento angular.
El operador traslación
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El operador movimiento de rotación
, con el primer argumento
que indica el eje de rotación y el segundo
el ángulo de rotación, puede operar a través del operador traslación
para rotaciones infinitesimales, como se explica a continuación. Por esta razón, primero se muestra cómo el operador de traslación está actuando sobre una partícula en la posición x (la partícula está entonces en el estado
, de acuerdo con la mecánica cuántica).
Traslación de la partícula en la posición x a la posición x + a:
Debido a que una traslación de 0 no cambia la posición de la partícula, entonces (1 indica el operador identidad, que no introduce cambios):
![{\displaystyle \,{\mbox{T}}(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9709292dca36d363c493b72b59b5f9a08fa04ec)
![{\displaystyle \,{\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)|x\rangle ={\mbox{T}}(a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle ={\mbox{T}}(a+da)|x\rangle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4e3518ac88771e436637f1cf8ca05899f7635f)
![{\displaystyle \,{\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(a+da)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571562095c4493fbf6546a990f59112ac98e4c0a)
El desarrollo de Taylor da:
![{\displaystyle \,{\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(0)+{\frac {d{\mbox{T}}(0)}{da}}da+...=1-{\frac {i}{\hbar }}\ p_{x}\ da}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4402d0c345a218fe49d0a649014e11da02ce64fb)
con
![{\displaystyle \,p_{x}=i\hbar {\frac {d{\mbox{T}}(0)}{da}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08de1b3d74cd4ae9965f3c41115fd57a0de87f38)
De lo que se sigue que:
![{\displaystyle \,{\mbox{T}}(a+da)={\mbox{T}}(a){\mbox{T}}(da)={\mbox{T}}(a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff81b323f85ccbe3582a50726276d93d3019602)
![{\displaystyle \,[{\mbox{T}}(a+da)-{\mbox{T}}(a)]/da={\frac {d{\mbox{T}}}{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}{\mbox{T}}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a63dee80dbe02eb49613a8d7f06cc8619d2af9)
Esta es un ecuación diferencial con la solución
.
Además, supóngase un hamiltoniano
es independiente de la posición
. Debido a que el operador de traslación se puede escribir en términos de
y
, se sabe que
. Este resultado significa que se conserva la cantidad de movimiento lineal para el sistema.
En relación con el momento angular orbital
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En la mecánica clásica, se tiene que el momento angular
. Esto es lo mismo en mecánica cuántica, considerando a
y
como operadores. Clásicamente, una rotación infinitesimal
del vector r = (x, y, z) sobre el eje z a r'= (x', y', z) dejando z sin cambios, puede expresarse mediante las siguientes traslaciones infinitesimales (usando la aproximación de Taylor):
![{\displaystyle \,x'=r\cos(t+dt)=x-ydt+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb1a7f56f1c9ab6bb3580300b646d2d9c8d4186)
![{\displaystyle \,y'=r\sin(t+dt)=y+xdt+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0442376b39fc350bcec5e371c16736792e824cdb)
De lo que se sigue para los estados:
![{\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,dt)|r\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67f6c6c1e7f4194f83a2e41812182a0bfc4a637)
![{\displaystyle ={\mbox{R}}(z,dt)|x,y,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff37376b14fdf31d768b452815bacd0c73bb920)
![{\displaystyle =|x-ydt,y+xdt,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f93b16695d55ca1d1db0ef29d9d53621690dbad)
![{\displaystyle ={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)|x,y,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30db7983a47902c906339221fb7cd59aef0f9e71)
![{\displaystyle ={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)|r\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82dd3e68961f3c94d3d647162054f6d93aed429f)
Y consecuentemente:
![{\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,dt)={\mbox{T}}_{x}(-ydt){\mbox{T}}_{y}(xdt)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d76a2f02c8b793e62df2431143c0d3735a2816)
Usando
desde arriba con
y la expansión de Taylor, obtiene:
![{\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{h}}\ (xp_{y}-yp_{x})dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c821c00c67a8fb08f34aaa0e28c3968c4354f94)
![{\displaystyle =\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ l_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{h}}l_{z}dt+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318a7f1b0817e64d95aec210633a9d2a826d585a)
con lz = x py - y px siendo la componente z del momento angular de acuerdo con el producto vectorial clásico.
Para obtener una rotación para el ángulo
, se construye la ecuación diferencial siguiente, utilizando la condición
:
![{\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,t+dt)={\mbox{R}}(z,t){\mbox{R}}(z,dt)\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ea961162c508b5d8416dd9bad7accbb28d31f1)
![{\displaystyle \,[{\mbox{R}}(z,t+dt)-{\mbox{R}}(z,t)]/dt=d{\mbox{R}}/dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a586a59045d8ca794a2fd0b67f6c915e64a0e1)
![{\displaystyle \,={\mbox{R}}(z,t)[{\mbox{R}}(z,dt)-1]/dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4caeff0fafe4337899baeb747f862479c7c230b7)
![{\displaystyle \,=-{\frac {i}{h}}l_{z}{\mbox{R}}(z,t)\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddfc09748dd5f87fb003d632983af672cb3ac54)
![{\displaystyle \,{\mbox{R}}(z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{h}}\ t\ l_{z}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1cbd2cce51e1ec1fe072b9cebefd286f8dde42)
Similar al operador de traslación, si se dispone de un hamiltoniano
que es rotacionalmente simétrico con respecto al eje z,
implica
. Este resultado significa que el momento angular se conserva.
Para el momento de giro angular sobre el eje y, simplemente se reemplaza
por
y se obtiene el operador de rotación espín
.
Efecto sobre el operador de giro y estados cuánticos
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Los operadores pueden ser representados por matrices. A partir del álgebra lineal se sabe que una cierta matriz
se puede representar en otra base a través de la transformación
![{\displaystyle \,A'=PAP^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97c13cdd64ad88a1b6d73cc407cf868d7cbd3bd)
donde
es la matriz de transformación base. Los vectores
y
son los ejes z en una base y en otra respectivamente, y además son perpendiculares al eje y con un cierto ángulo
entre ellos. El operador de giro
en la primera base puede luego transformarse en el operador de giro
de la otra base a través de la siguiente transformación:
![{\displaystyle \,S_{c}={\mbox{D}}(y,t)S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f6b81866392217f40455d077f4858405a37047)
De la mecánica cuántica estándar se tienen los resultados conocidos
y
, donde
y
son los giros superiores en sus bases correspondientes. Entonces, se tiene que:
![{\displaystyle \,{\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle ={\mbox{D}}(y,t)S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4441d390b188c2bfd38d176d231036b89fb4da38)
![{\displaystyle \,S_{b}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}{\mbox{D}}^{-1}(y,t)|c+\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d3a9e4f80ec9c15c18485bc2b52b1fe6f7f2a6)
La comparación con
produce
.
Esto significa que si el estado
se gira alrededor del eje y con un ángulo
, se convierte en el estado
, un resultado que puede generalizarse a ejes arbitrarios. Este resultado es importante, por ejemplo, en la inecuación de Sakurai Bell.
- L.D. Landau and E.M. Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, Pergamon Press, 1985
- P.A.M. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1958
- R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1965