En matemáticas, la secuencia aritmético-geométrica es el resultado de la multiplicación término por término de una progresión geométrica con los términos correspondientes de una progresión aritmética . En pocas palabras, el término n de una secuencia aritmético-geométrica es el producto del término n-ésimo de una secuencia aritmética y el término n-ésimo de una geométrica.[1] Las secuencias aritmético-geométricas surgen en diversas aplicaciones, como el cálculo de valores esperados en la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, la secuencia:
![{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71335524ad4e069ff1883ab0a138051011280134)
es una secuencia aritmético-geométrica. El componente aritmético aparece en el numerador (en azul), y el geométrico en el denominador (en verde).
La suma de esta sucesión infinita se conoce como serie aritmético-geométrica, y su forma más básica se ha denominado escalera de Gabriel:[2][3][4]
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\color {blue}k}{\color {green}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^{2}}},\quad \mathrm {para\ } 0<r<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b356c7c1d57764943a4ee2bc7bb3a2d1b6e97004)
La denominación también puede aplicarse a diferentes objetos que presenten características tanto de secuencias aritméticas como geométricas; por ejemplo, la noción francesa de secuencia aritmético-geométrica se refiere a secuencias de la forma
, que generalizan tanto las sucesiones aritméticas como las geométricas. Tales secuencias son un caso especial de ecuaciones en diferencias lineales.
Términos de la secuencia[editar]
Los primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica compuesta por una progresión aritmética (en azul) con diferencia
y valor inicial
y una progresión geométrica (en verde) con valor inicial
y razón común
están dados por:[5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528c2da02b4b0fb0277466a44162a1320a078ede)
Por ejemplo, la secuencia
![{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71335524ad4e069ff1883ab0a138051011280134)
es definida por
,
, y
.
Suma de los términos[editar]
La suma de los primeros n términos de una sucesión aritmético-geométrica tiene la forma:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54d1f9fec578d07bf56c1534273e8de0a5b2818)
donde
y
son los i-ésimos términos de la sucesión aritmética y geométrica, respectivamente.
Esta suma tiene la expresión de forma cerrada:[6]
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1})\\&={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}+{\frac {dr(1-nr^{n-1}+(n-1)r^{n})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af13ffd8b0375d4b23d8be4e7e6660329e2c12a)
Multiplicando la expresión de la secuencia:[5]
![{\displaystyle S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1db0043b62dbe6c15050282c4a5d93ba3b55dd)
por r, da
![{\displaystyle rS_{n}=abr+[a+d]br^{2}+[a+2d]br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a1df7cf8f48ece476dfda78f4ab50c65ed1e1d)
Restando rSn de Sn, y usando la técnica de series telescópicas obtenemos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n}\\[5pt]={}&{ab-(a+nd)r^{n}}b+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397c0dade25fc3be257ae9567be43cee9445c950)
donde la última igualdad resulta de la expresión para la suma de una serie geométrica.
Finalmente, dividir por 1 − r da el resultado:
Serie infinita[editar]
Si −1 < r < 1, entonces la suma S de la serie aritmético-geométrica, es decir, la suma de todos los infinitos términos de la progresión, viene dada por[5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94fda195397c0d36b83b948e7a2dab2f4b1a20fd)
Si r está fuera del rango anterior, la serie:
- diverge (cuando r > 1, o cuando r = 1 donde la serie es aritmética y a y d no son ambos cero; si tanto a como d son cero en el último caso, todos los términos de la serie son cero y la serie es constante )
- o se alterna (cuando r ≤ −1).
Ejemplo: aplicación a valores esperados[editar]
Por ejemplo, la suma:
,
siendo la suma de una serie aritmético-geométrica definida por
,
, y
, converge a
.
Esta secuencia corresponde al número esperado de lanzamientos de moneda antes de obtener "cruz". La probabilidad
de obtener cruz por primera vez en el k-ésimo lanzamiento es la siguiente:
.
Por lo tanto, el número esperado de lanzamientos está dado por:
.
Referencias[editar]
- ↑ «Arithmetic-Geometric Progression | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (en inglés estadounidense). Consultado el 21 de abril de 2021.
- ↑ Swain, Stuart G. (2018). «Proof Without Words: Gabriel's Staircase». Mathematics Magazine 67 (3): 209-209. ISSN 0025-570X. doi:10.1080/0025570X.1994.11996214.
- ↑ Edgar, Tom (2018). «Staircase Series». Mathematics Magazine 91 (2): 92-95. ISSN 0025-570X. doi:10.1080/0025570X.2017.1415584.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Gabriel's Staircase». MathWorld.
- ↑ a b c Riley, Ken; Hobson, Michael; Bence, Stephen (2010). Mathematical methods for physics and engineering (en inglés) (Tercera edición). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3. Consultado el 16 de enero de 2022.
- ↑ Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Liu, John (2014). Jesús Mares Chacón, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada (4 edición). México D.F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V. ISBN 978-607-15-1145-4.
Bibliografía[editar]