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Serie de Bertrand

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Sean α y β dos números reales. Llamamos serie de Bertrand (en honor al matemático Joseph Bertrand) a la serie de términos reales positivos siguiente :

Condición de convergencia

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Enunciado

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Teorema de Bertrand

La serie de Bertrand asociada a α y β converge si y sólo si α > 1 o (α = 1 y β > 1).

Esta condición necesaria y suficiente se resume en la expresión: (α, β) > (1, 1), donde el orden del par ordenado de reales es el orden alfabético (tomando primero α y, si α = 1, miramos β).

Demostración por el criterio de comparación

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La serie de Bertrand se comporta igual que la integral en +∞ de la función

(positiva en (1,+∞)),siempre y cuando sea decreciente a partir de un cierto valor de .

Cuando esta hipótesis (monotonía decreciente) no se cumple, es decir cuando α < 0 o (α = 0 y β < 0), tenemos una serie creciente a partir de un y, por no cumplir la condición necesaria de convergencia es divergente.

Cuando se cumple, es decir cuando (α = 0 y β ≥ 0) o α > 0, la convergencia de la serie equivale a la integrabilidad en +∞ de la función anterior o, por cambio de variable , de la función

  • Si 1 – α < 0, esta función de es integrable en +∞ ya que es está acotada por otra exponencial: para todo γ ∈ ]0, α – 1[.
  • Si α = 1, es integrable en +∞ si y sólo si β > 1.
  • Si 1 – α > 0, no es integrable en +∞ pues tiende hacia +∞.

Enlaces externos

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