Ir al contenido

Subgrupo conmutador

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por o . Esto significa que si entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

.

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si verifica que es abeliano entonces .

La construcción recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones[editar]

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

  • El inverso de un conmutador es un conmutador.
  • G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
  • G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.

Serie normal y serie derivada[editar]

Dado un grupo , La serie derivada es una construcción iterada, definida de la siguiente manera:

Los grupos se denominan segundo grupo derivado, tercer grupo derivado, y así en adelante y forman la serie normal descedente.

se denomina la serie derivada. Esta no debe confundirse con la serie central inferior, cuyos términos son .

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y puede continuar hasta infinitos números ordinales mediante recursión transfinita, obteniendo así la serie derivada transfinita, que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858. 
  • Lang, Serge (2005). Algebra. Springer. ISBN 038795385X.