La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma
![{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8039552da1359e55122a07d4a3875b8f33c88f)
donde
es una función racional de
y de
. En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.[1]
Primera sustitución[editar]
La primera sustitución de Euler se utiliza cuando
. Se sustituye
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96c437d96aa9e353c74184cac4c63b35ac87bca)
y se resuelve la expresión resultante para
. Se tiene que
![{\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff71e6447253ad4ebc8133bbe176d4c7de613da)
y el término
se puede expresar racionalmente en
.
En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.
Segunda sustitución[editar]
Si
, se toma
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a171a5ce7034ed4150b72f411d7ad6d1504bcb)
Se resuelve para
de manera similar al caso anterior y entonces
![{\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130291e8fb094109982f1f15fb568da419102d71)
Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.
Tercera sustitución[editar]
Si el polinomio
tiene raíces reales
y
, se puede elegir
.
Esto produce
![{\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b496cbd58b65d8422f0b432df8dc9cf39dce4d)
y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en
.
Primera sustitución de Euler[editar]
En la integral
![{\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f92349a5b13d1453cd11211d16da4efa2c440a)
se puede usar la primera sustitución y establecer
, así
![{\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9dc9f517e8dfeb612a450bd80cd0644cb9d82a)
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1f32a86d6447dcbf71d0b3bfef6aeb718c20b3)
En consecuencia, se obtiene:
![{\displaystyle \int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e7535c350cfd2aab7a9aa053895f717e1d9313)
Con
se obtienen las fórmulas
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba7bf29d04c278d8e2783f7a6e67c3b8a143776)
Para encontrar el valor de
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e8d8283800eb90363da59ccc5267320f03a05a)
se determina
usando la primera sustitución de Euler,
. Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene
, a partir de lo que los términos en
se cancelan. Resolviendo la ecuación, se obtiene
![{\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c2ae6034b546bbd505ddb27c23a796b23f122)
A partir de ahí, resulta que los diferenciales
y
están relacionados por
![{\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ec223693085f3895a77ea3e31f43f6f3f121ea)
Por lo tanto,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416135ec0f98e3c50b1a8c6dc10d4073211c791b)
Segunda sustitución de Euler[editar]
En la integral
![{\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54702557947f3719d0a492169c4a26740acbbac0)
se puede usar la segunda sustitución y configurar
. Así
![{\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777405e6af1c688d2bb755e94e7203b18c9b1aed)
y
![{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd2fd25f58b82240e4ac24367d92d362c5c6913)
En consecuencia, se obtiene:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}\;dt\\&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2119d036458fa5d0db5382fd7b049ead1f0602)
Tercera sustitución de Euler[editar]
Para evaluar
![{\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accc45df3da8c878b180948d6b1426637aca4c95)
se puede usar la tercera sustitución y configurar
. Así
![{\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b78c7b129c360a901c35ba3cbf43270c413c61)
y
![{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d100d27d4215003b0955d52f54deb5931839cfa)
A continuación,
![{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9202e8f2436e79309c3637fee4d5e9beec6bd8)
Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.
Generalizaciones[editar]
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral
, se puede usar la sustitución
. Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma
![{\displaystyle \int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e271c834837fdf033eb629a544bdd6bc5494452)
donde
y
son funciones racionales de
y
. Esta integral se puede transformar mediante la sustitución
en otra integral
![{\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d79352aff557a64be5e6d7cc6e2080f5908c2ee)
donde
y
ahora son simplemente funciones racionales de
. En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.[2]
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
- ↑ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145-146. ISBN 978-0867202939.
Enlaces externos[editar]