En matemáticas, una serie newtoniana, nombrada así en referencia a Isaac Newton, es una sucesión matemática
escrita en la forma
![{\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195cd2748cffbc1ac3bc4b8fccea32eae7056ad1)
donde
![{\displaystyle {s \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bad54d485792dd0225f6c2a7f286ad98f72d304)
es el coeficiente binomial y
es el factorial ascendente. Las series newtonianas a menudo aparecen en relaciones de la forma que se ve en el cálculo umbral.
El teorema del binomio generalizado afirma que
![{\displaystyle (1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482daf744ec8259342875949e90d2acb8692820f)
Una prueba de esta identidad se puede obtener mostrando que satisface la ecuación diferencial
![{\displaystyle (1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629f909fb0b712b55abed2f667048bf28f82b802)
La función digamma es:
![{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc746e368eab10d85b38f33deb50f56bb611ba4)
y los números de Stirling de segunda especie vienen dados por la suma finita
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50151d0991f6d70500a3e505ccedf1ecc5e5daa8)
Esta fórmula es un caso especial de la k-ésima diferencia finita del monomio xn evaluado en x = 0:
![{\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae8fea85bae422f2ba5c524b93c16730f08663c)
Una identidad relacionada constituye la base de la integral de Nörlund–Rice:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224df2f4f1bc1c6363c15f11f1e8c277147f1bd4)
donde
es la función gamma y
es la función beta.
Las funciones trigonométricas tienen identidades umbrales:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4030f60cf520fb97f24b7923ac3d00913af44b1)
y
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9649493922c68862bd1b14cee86b6c8f308a2b71)
La naturaleza umbral de estas identidades es un poco más clara al escribirlas en términos del factorial descendente
. Los primeros términos de la serie del seno son
![{\displaystyle s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4105decc5685514d7900be089df518c4a9e9dd4e)
que se puede reconocer como similar a la serie de Taylor para la función
, con (s) n en lugar de xn.
En teoría analítica de números es de interés la suma
![{\displaystyle \!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b8a6bc360c618c945e1eec19ac37f0baa207d9)
donde B es el número de Bernoulli. Empleando la función generadora, su suma de Borel se puede evaluar como
![{\displaystyle \sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49c16ffa6d3b429d3ff9e81488a6ba898258988)
La relación general da la serie de Newton
[cita requerida]
donde
es la función zeta de Hurwitz y
son polinomios de Bernoulli. La serie no converge, pero la identidad se mantiene formalmente.
Otra identidad es
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4655e522f63d4ffc3b986523c3b0e2489696426c)
que converge para
. Esto se deduce de la forma general de una serie de Newton para nodos equidistantes (cuando existe, es decir, es convergente)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed6b7aea1071e103a151ca5de9828900388a9e8)
Véase también[editar]
Referencias[editar]