Tacnodo

En la geometría algebraica clásica, un tacnodo (también llamado punto de osculación o cúspide doble)^[1] es un tipo de punto singular de una curva. Se define como un punto donde dos (o más) circunferencias osculatrices a la curva en ese punto son tangentes entre sí. Esto significa que dos ramas de la curva tienen tangencia ordinaria en el punto doble.

El ejemplo canónico es

(y-x^{2})(y+x^{2})=0.

A partir de este ejemplo, se puede definir un tacnodo de una curva arbitraria, como un punto de auto-tangencia localmente difeomorfo al punto en el origen de esta curva. Otro ejemplo de tacnodo está dado por la curva de enlaces que se muestra en la figura, con la ecuación

(x^{2}+y^{2}-3x)^{2}-4x^{2}(2-x)=0.

Antecedentes más generales

Considérese una función suave de valores reales con dos variables, como f (x, y), donde x e y son números reales. Entonces, f es una función del plano sobre una línea. El grupo de difeomorfismos del plano y los difeomorfismos de la línea actúan sobre el espacio de todas estas funciones suaves, es decir, con cambios diffeomórficos de coordenadas tanto en la fuente como en la imagen. Esta acción divide todo el espacio de funciones en clases de equivalencia, es decir, órbitas de la acción del grupo.

Una de esas familias de clases de equivalencia se denota por A_k^±, donde k es un número entero no negativo. Esta notación fue introducida por V. I. Arnold. Se dice que una función f es de tipo A_k^± si se encuentra en la órbita de x² ± y^k+1, es decir, existe un cambio difeomórfico de coordenadas en la fuente y en la imagen que adquiere f en una de estas formas. Estas formas simples x² ± y^k+1 se dice que dan formas normales para las singularidades del tipo A_k^±.

Una curva con la ecuación f = 0 tendrá un tacnodo, denominado en el origen, si y solo si f tiene una singularidad del tipo A₃⁻ en el origen.

Obsérvese que el nodo de (x² − y ² = 0) corresponde a una singularidad del tipo A₁⁻. Un tacnodo se corresponde con una singularidad del tipo A₃⁻. De hecho, cada singularidad del tipo A_2n+1⁻, donde n ≥ 0 es un número entero, corresponde a una curva con auto intersección. A medida que n aumenta, el orden de auto intersección aumenta: cruce transversal, tangencia ordinaria, etc.

Las singularidades del tipo A_2n+1⁺ no tienen interés sobre los números reales: todas corresponden a un punto aislado. Sobre los números complejos, las singularidades del tipo A_2n+1⁺ y las singularidades del tipo A_2n+1⁻ son equivalentes: (x, y) → (x, iy) da como resultado el difeomorfismo propio de las formas normales.