Tensor de torsión

Desarrollo del círculo unitario en el espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$, con cuatro opciones diferentes de conexión plana preservando la métrica euclídea, definida por $\nabla _{e_{i}}e_{j}=\tau \,e_{i}\times e_{j}$, donde $\tau$ es un escalar constante, respectivamente: $\tau =0.01,0.1,0.5,1.0$. Todas las curvas resultantes en el espacio tangente tienen una longitud de arco $2\pi$, una curvatura $1$ y una torsión respectiva $\tau$ (en el sentido de las fórmulas de Frenet-Serret)

En geometría diferencial, el tensor de torsión es un tipo de tensor que está asociado a cualquier conexión afín. Es un operador bilineal de dos vectores de entrada $X,Y$, que produce un vector de salida $T(X,Y)$ que representa el desplazamiento dentro de un espacio tangente cuando el espacio tangente se desarrolla (o se hace rodar) en un paralelogramo infinitesimal cuyos lados son $X,Y$. Es antisimétrico en sus entradas, porque desarrollarse sobre el paralelogramo en el sentido opuesto produce el desplazamiento opuesto, de manera similar a cómo un tornillo se desplaza en sentidos opuestos cuando se gira en sentidos opuestos.

La torsión es particularmente útil en el estudio de la geometría de las líneas geodésicas. Dado un sistema de líneas geodésicas parametrizadas, se puede especificar una clase de conexiones afines que tengan esas geodésicas, pero que se diferencien por sus torsiones. Existe una conexión única que absorbe la torsión, generalizando la conexión de Levi-Civita a otras situaciones posiblemente no métricas (como la geometría de Finsler). La diferencia entre una conexión con torsión y una conexión correspondiente sin torsión es un tensor, llamado tensor de contorsión. La absorción de la torsión también juega un papel fundamental en el estudio de la estructura G y del método de equivalencia de Cartan. La torsión también es útil en el estudio de familias de geodésicas no parametrizadas, a través de la conexión proyectiva asociada. En el campo de la teoría de la relatividad, estas ideas se han desarrollado en la teoría de Einstein-Cartan.

Definición

Sea M una variedad con un conexión afín en fibrado tangente (también conocido como derivada covariante) ∇. El tensor de torsión (a veces llamado Cartan (torsión) tensor) de ∇ es el vector-valued 2-form definido en campo vectorials X e Y por​

$T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

donde [X, Y] es el Lie bracket de dos campos vectoriales. Según Leibniz rule, T(fX, Y) = T(X, fY) = fT( X, Y) para cualquier función infinitamente diferenciable f. Entonces T es campo tensorial, a pesar de estar definido en términos de connection, que es un operador diferencial de primer orden: da una forma 2 en vectores tangentes, mientras que la derivada covariante solo se define para campos vectoriales.

Componentes del tensor de torsión

Los componentes del tensor de torsión $T^{c}{}_{ab}$ en términos de un basis local (e₁, ..., e_n) de sections del paquete tangente se pueden derivar estableciendo X= e_i, Y= e_j e introduciendo los coeficientes del conmutador γ^k_ije_k := [e_i, e_j]. Las componentes de la torsión son entonces​

$T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

Aquí ${\Gamma ^{k}}_{ij}$ son los símbolos de Christoffel que definen la conexión. Si la base es holonomic, los corchetes de Lie desaparecen, $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$. Entonces $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$. En particular (ver más abajo), mientras que geodesic equations determina la parte simétrica de la conexión, el tensor de torsión determina la parte antisimétrica.

Torsión

La forma de torsión, una caracterización alternativa de torsión, se aplica al haz de sistemas de referencia FM de la variedad M. Este fibrado principal está equipado con una forma de conexión ω, una 1-forma de valor gl(n) que asigna vectores verticales a los generadores de la acción correcta en gl. (n) y entrelaza de manera equivariante la acción correcta de GL(n) en el fibrado tangente de FM con la adjoint representation en gl(n). El haz de sistemas de referencia también lleva una 1-forma canónica θ, con valores en Rⁿ, definida en un sistema de referencia u ∈ F_xM (considerado como una función lineal u : Rⁿ → T_xM) por​

$\theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))$

donde π  : FM → M es el mapeo de proyección para el paquete principal y π∗ es su avance. La forma de torsión es entonces​

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .$

De manera equivalente, Θ = Dθ, donde D es el derivada covariante exterior determinado por la conexión.

La forma de torsión es un tensorial form (horizontal) con valores en 'Rⁿ, lo que significa que bajo la acción correcta de g ∈ GL(n) se transforma equivariantly:

$R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta$

donde g actúa en el lado derecho a través de su representación adjunta en 'Rⁿ.

Forma de torsión en un marco

Véase también: forma de conexión

La forma de torsión se puede expresar en términos de forma de conexión en la variedad base M, escrita en un marco particular del fibrado tangente (e₁, ..., e_n). La forma de conexión expresa la derivada covariante exterior de estas secciones básicas:​

$D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.$

El solder form para el paquete tangente (relativo a este marco) es el base dual θⁱ ∈ T^∗M del e_i, de modo que θⁱ(e_j)= δⁱ_j (el Delta de Kronecker). Entonces la torsión de 2 formas tiene componentes.

$\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.$

En la expresión más a la derecha,

${T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-\left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)$

son los componentes del marco del tensor de torsión, como se indica en la definición anterior.

Se puede demostrar fácilmente que Θⁱ se transforma tensorialmente en el sentido de que si un marco diferente

${\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}$

para alguna función matricial invertible (g^j_i), entonces

${\tilde {\Theta }}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.$

En otros términos, Θ es un tensor de tipo (1, 2) (que lleva un índice contravariante y dos covariantes).

Alternativamente, la forma de soldadura se puede caracterizar de una manera independiente del marco como la forma única θ con valor de TM en M correspondiente al endomorfismo de identidad del paquete tangente bajo la dualidad. isomorfismo End(TM) ≈ TM ⊗ T^∗M. Entonces la torsión 2-forma es una sección

$\Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right)$

dada por

$\Theta =D\theta ,$

donde D es el derivada covariante exterior. (Consulte forma de conexión para obtener más detalles).

Descomposición irreducible

El tensor de torsión se puede descomponer en dos partes irreducible: una parte trace-free y otra parte que contiene los términos de traza. Usando índice (matemática), la traza de T viene dada por

$a_{i}=T^{k}{}_{ik},$

y la parte libre de rastros es

$B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},$

donde δⁱ_j es el Delta de Kronecker.

Intrínsecamente, se tiene que

$T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).$

La traza de T, tr T, es un elemento de T^∗M definido de la siguiente manera. Para cada vector fijo X ∈ TM, T define un elemento T(X) de Hom(TM, TM) vía

$T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).$

Entonces (tr T)(X) se define como la huella de este endomorfismo. Eso es,

$(\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).$

La parte libre de rastros de T es entonces

$T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),$

donde ι denota producto interior.

Curvatura e identidades Bianchi

El curvature tensor de ∇ es un mapeo TM × TM → End(TM) definido en los campos vectoriales X, Y y Z por

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.$

Para vectores en un punto, esta definición es independiente de cómo se extienden los vectores a campos vectoriales alejados del punto (por lo tanto, define un tensor, muy parecido a la torsión).

Las identidades de Bianchi relacionan la curvatura y la torsión de la siguiente manera. ​ Sea ${\mathfrak {S}}$ el cyclic sum sobre X, Y y Z. Por ejemplo,

${\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.$

Entonces se cumplen las siguientes identidades

1. Primera identidad de Bianchi:

   ${\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _{X}T\right)\left(Y,Z\right)\right)$

2. La segunda identidad de Bianchi:

   ${\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{X}R\right)\left(Y,Z\right)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)\right)=0$

Forma de curvatura e identidades de Bianchi

forma de curvatura es la forma 2 con valor gl(n).

$\Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega$

donde, nuevamente, D denota la derivada covariante exterior. En términos de la forma de curvatura y la forma de torsión, las identidades de Bianchi correspondientes son​

1. $D\Theta =\Omega \wedge \theta$
2. $D\Omega =0.$

Además, se pueden recuperar los tensores de curvatura y torsión a partir de las formas de curvatura y torsión de la siguiente manera. En un punto u de F_xM, se tiene ​

${\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}$

donde nuevamente u : Rⁿ → T_xM es la función que especifica la estructura en la fibra, y la elección de la sustentación de los vectores a través de π⁻¹ es irrelevante ya que las formas de curvatura y torsión son horizontales (se desvanecen en los vectores verticales ambiguos).

Caracterizaciones e interpretaciones

La torsión es una forma de caracterizar la cantidad de deslizamiento o torsión que realiza un avión al rodar en una superficie affine manifold de mayor dimensión.​

Por ejemplo, considere hacer rodar un avión en un pequeño círculo dibujado en una esfera. Si el avión no se desliza ni gira, cuando el avión gire completamente en el círculo, también trazará un círculo en el avión. Resulta que el avión habrá girado (a pesar de no haber ningún giro al rodarlo), efecto debido al curvatura de la esfera. Pero la curva trazada seguirá siendo un círculo y, por tanto, en particular una curva cerrada que comienza y termina en el mismo punto. Por otro lado, si el avión rodara en la esfera, pero se le permitiera deslizarse o girar en el proceso, entonces la trayectoria que traza el círculo en el plano podría ser una curva mucho más general que ni siquiera necesitaría cerrarse. La torsión es una forma de cuantificar este deslizamiento y torsión adicionales mientras se hace rodar un avión en una curva.

Así, el tensor de torsión se puede entender intuitivamente tomando un pequeño circuito de paralelogramo con lados dados por los vectores v y w, en un espacio y haciendo rodar el espacio tangente en cada uno de los cuatro lados del paralelogramo, marcando el punto de contacto a medida que avanza. Cuando se complete el circuito, la curva marcada habrá sido desplazada fuera del plano del paralelogramo por un vector, denotado $T(v,w)$. Así, el tensor de torsión es un tensor: una función (bilineal) de dos vectores de entrada v y w que produce un vector de salida $T(v,w)$. Es matriz antisimétrica en los argumentos v y w, un reflejo del hecho de que atravesar el circuito en el sentido opuesto deshace el desplazamiento original, de la misma manera que torcer un tornillo en direcciones opuestas desplaza el atornillar en sentidos opuestos. El tensor de torsión está relacionado, aunque distinto, con el torsion of a curve, tal como aparece en el Fórmulas de Frenet-Serret: la torsión de una conexión mide una dislocación de una curva desarrollada fuera de su plano, mientras que la torsión de una curva también es una dislocación fuera de su plano. de su osculating plane. En la geometría de superficies, la torsión geodésica describe cómo una superficie se tuerce alrededor de una curva de la superficie. La noción complementaria de curvatura mide cómo los marcos en movimiento ruedan en una curva sin deslizarse ni torcerse.

Ejemplo

Considere el Espacio euclídeo (plano) $M=\mathbb {R} ^{3}$. Sobre él, colocamos una conexión que es plana, pero con torsión distinta de cero, definida en el marco euclidiano estándar $e_{1},e_{2},e_{3}$ por el (euclidiano) producto vectorial:

$\nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.$

Consideremos ahora el transporte paralelo del vector $e_{2}$ en el eje $e_{1}$, comenzando en el origen. El campo vectorial paralelo $X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}$ satisface entonces $X(0)=e_{2}$, y la ecuación diferencial

${\begin{array}{rl}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{array}}$

Por tanto ${\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a$, y la solución es $X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}$.

Ahora la punta del vector $X$, a medida que se transporta en el eje $e_{1}$, traza la hélice

$x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.$

Así vemos que, en presencia de torsión, el transporte paralelo tiende a torcer un marco en la dirección del movimiento, de manera análoga al papel que desempeña la torsión en el geometría diferencial de curvas clásico.

Desarrollo

Una interpretación de la torsión implica el desarrollo de una curva.​ Supongamos que se da un bucle cerrado suave por partes $\gamma :[0,1]\to M$, basado en el punto $p\in M$, donde $\gamma (0)=\gamma (1)=p$. Suponemos que $\gamma$ es homotópico a cero. La curva se puede desarrollar en el espacio tangente en $p$ de la siguiente manera. Sea $\theta ^{i}$ un coframe paralelo en $\gamma$, y sean $x^{i}$ las coordenadas en $T_{p}M$ inducidas por $\theta ^{i}(p)$. Un desarrollo de $\gamma$ es una curva ${\tilde {\gamma }}$ en $T_{p}M$ cuyas coordenadas $x^{i}=x^{i}(t)$ satisfacen la ecuación diferencial

$dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.$

Si la torsión es cero, entonces la curva desarrollada ${\tilde {\gamma }}$ también es un circuito cerrado (de modo que ${\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)$). Por otro lado, si la torsión es distinta de cero, entonces la curva desarrollada puede no estar cerrada, por lo que ${\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)$. Así, el desarrollo de un bucle en presencia de torsión puede dislocarse, de forma análoga a un dislocación (defecto cristalino).​

Las consideraciones anteriores pueden hacerse más cuantitativas considerando un pequeño paralelogramo, que se origina en el punto $p\in M$, con lados $v,w\in T_{p}M$. Entonces el bivector tangente al paralelogramo es $v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M$. El desarrollo de este paralelogramo, mediante la conexión, ya no es cerrado en general, y el desplazamiento al dar la vuelta al bucle es traslación por el vector $\Theta (v,w)$, donde $\Theta$ es el tensor de torsión, hasta términos de orden superior en $v,w$. Este desplazamiento es directamente análogo al Vector de Burgers de cristalografía.​​

De manera más general, también se puede transportar un marco móvil en la curva ${\tilde {\gamma }}$. La transformación "lineal" que sufre la estructura entre $t=0,t=1$ está determinada entonces por la curvatura de la conexión. Juntas, la transformación lineal del marco y la traslación del punto inicial de ${\tilde {\gamma }}(0)$ a ${\tilde {\gamma }}(1)$ comprenden el holonomía de la conexión.

Torsión de un filamento

En ciencia de materiales, y especialmente en elasticidad (mecánica de sólidos), las ideas de torsión también juegan un papel importante. Un problema modela el crecimiento de las enredaderas, centrándose en la cuestión de cómo las enredaderas logran retorcerse alrededor de los objetos. ​ La vid en sí está modelada como un par de filamentos elásticos enrollados uno alrededor del otro. En su estado de minimización de energía, la vid crece naturalmente en forma de hélice (geometría). Pero la enredadera también se puede estirar para maximizar su extensión (o longitud). En este caso, la torsión de la enredadera está relacionada con la torsión del par de filamentos (o, de manera equivalente, la torsión de la superficie de la cinta que conecta los filamentos) y refleja la diferencia entre la configuración de maximización de la longitud (geodésica) de la enredadera. y su configuración de minimización de energía.

Torsión y vorticidad

En fluidodinámica, la torsión está naturalmente asociada a los vorticidad.

Supongamos que se da una conexión $D$ en tres dimensiones, con curvatura de 2 formas $\Omega _{a}^{b}$ y torsión de 2 formas $\Theta ^{a}=D\theta ^{a}$. Sea $\eta _{abc}$ el Símbolo de Levi-Civita asimétrico, y

$t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},$

$s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.$

Entonces las identidades Bianchi Las identidades de Bianchi son

$D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.$

implica que $Dt_{a}=0$ y

$Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.$

Estas son las ecuaciones que satisface un medio continuo en equilibrio con densidad de momento $s_{ab}$.​

Geodésicas y absorción de torsión

Supongamos que γ(t) es una curva en M. Entonces γ es una geodésica finamente parametrizada siempre que

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$

para todo el tiempo t en el dominio de γ. (Aquí el punto denota diferenciación con respecto a t, que asocia con γ el vector tangente que apunta en él). Cada geodésica está determinada de forma única por su vector tangente inicial en el tiempo t= 0, ${\dot {\gamma }}(0)$.

Una aplicación de la torsión de una conexión involucra el línea geodésica de la conexión: aproximadamente la familia de todas las geodésicas con parámetros afines. La torsión es la ambigüedad de clasificar las conexiones en términos de sus proyecciones geodésicas:

• Dos conexiones ∇ y ∇′ que tienen las mismas geodésicas parametrizadas por afinidad (es decir, la misma pulverización geodésica) se diferencian solo por la torsión.​

Más precisamente, si X e Y son un par de vectores tangentes en p ∈ M, entonces sea

$\Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}$

Sea la diferencia de las dos conexiones, calculada en términos de extensiones arbitrarias de X e Y lejos de p. Por Leibniz product rule, se ve que Δ en realidad no depende de cómo se extienden X e YPlantilla:′ (por lo que define un tensor en M). Sean S y A las partes simétricas y alternas de Δ:

$S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)$

$A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)$

Entonces

• $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ es la diferencia de los tensores de torsión.
• ∇ y ∇′ defina las mismas familias de geodésicas parametrizadas afínmente si y solo si S(X, Y)= 0.

En otras palabras, la parte simétrica de la diferencia de dos conexiones determina si tienen las mismas geodésicas parametrizadas, mientras que la parte sesgada de la diferencia está determinada por las torsiones relativas de las dos conexiones. Otra consecuencia es:

• Dada cualquier conexión afín ∇, existe una conexión única libre de torsión ∇′ con la misma familia de geodésicas afines parametrizadas. La diferencia entre estas dos conexiones es en realidad un tensor, el contorsion tensor.

Esta es una generalización de teorema fundamental de la geometría de Riemann a conexiones afines generales (posiblemente no métricas). Seleccionar la conexión única libre de torsión subordinada a una familia de geodésicas parametrizadas se conoce como "absorción de torsión" y es una de las etapas de Cartan's equivalence method.

Véase también

• Tensor de contorsión
• Campo de Curtright
• Tensor de curvatura
• Conexión de Levi-Civita
• Coeficiente de torsión
• Torsión

Bibliografía

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Enlaces externos

• William Thurston (2011) Interpretación de torsión rodante sin deslizamiento, URL (versión: 2011-01-27).

• Datos: Q13229797