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Teorema de Anderson-Kadec

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En matemáticas, en las áreas de la topología y del análisis funcional, el teorema de Anderson-Kadec establece que,[1]​ dos espacios de Banach separables de dimensión infinita cualesquiera, más generalmente, espacios de Fréchet, son homeomórficos como espacios topológicos. El teorema fue demostrado por Mikhail Kadec (1966) y Richard Davis Anderson.

Enunciado[editar]

Todo espacio de Fréchet separable y de dimensión infinita es homeomorfo a , el Producto cartesiano de muchas copias numerables de la recta real .

Proposiciones preliminares[editar]

Norma de Kadec: Una norma sobre un espacio lineal normado se denomina norma de Kadec con respecto a un subconjunto total del espacio dual si para cada secuencia se cumple la siguiente condición:

  • Si para y entonces

Teorema de Eidelheit: Un espacio de Fréchet es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a

Teorema de renormación de Kadec: Todo espacio de Banach separable admite una norma de Kadec con respecto a un subconjunto total contable de La nueva norma es equivalente a la norma original de . El conjunto puede tomarse como cualquier subconjunto contable denso en estrella débil de la bola unitaria de

Esquema de la demostración[editar]

En el argumento siguiente, denota un espacio de Fréchet separable de dimensión infinita y la relación de equivalencia topológica (existencia de homeomorfismo).

Un punto de partida de la prueba del teorema de Anderson-Kadec es la prueba de Kadec de que cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita es homeomorfo a .

A partir del teorema de Eidelheit, basta considerar espacios de Fréchet que no sean isomorfos a un espacio de Banach. En ese caso, tienen un cociente que es isomorfo a . Un resultado de Bartle-Graves-Michael demuestra que entonces:

para algún espacio de Fréchet .

Por otro lado, es un subespacio cerrado de un producto infinito contable de espacios de Banach separables de espacios de Banach separables. El mismo resultado de Bartle-Graves-Michael aplicado a da un homeomorfismo

para algún espacio de Fréchet Según el resultado de Kadec, el producto numerable de espacios de Banach separables de dimensión infinita es homeomorfo a .

La demostración del teorema de Anderson-Kadec consiste en la secuencia de equivalencias

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Bessaga, C.; Pełczyński, A. (1975), Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, Monografie Matematyczne, Warszawa: Panstwowe wyd. naukowe ..
  • Torunczyk, H. (1981), Characterizing Hilbert Space Topology, Fundamenta Mathematicae, pp. 247-262 ..