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Teorema de Arzelà-Ascoli

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El teorema de Arzelà-Ascoli es una de las herramientas más poderosas del análisis matemático para decidir si un conjunto de funciones continuas reales definidas en un intervalo cerrado y acotado es compacto. En concreto, el teorema toma un conjunto de funciones reales continuas en un intervalo cerrado y acotado y da condiciones necesarias y suficientes para que tengan una subsucesión uniformemente convergente. Así, la adherencia de un conjunto con esas condiciones será compacta. La condición principal que pide el teorema es que el conjunto de funciones sea equicontinuo.

El teorema de Arzelà-Ascoli es la base de muchos otros resultados en matemáticas, incluyendo el teorema de existencia de Peano en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, el teorema de Montel en análisis complejo, el teorema de Peter-Weyl en análisis armónico y varios resultados sobre la compacidad de operadores integrales.

Historia

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La noción de equicontinuidad fue introducida a finales del siglo XIX por los matemáticos italianos Cesare Arzelà y Giulio Ascoli, de quienes recibe el nombre el teorema. Una versión débil del teorema fue demostrada por Ascoli (1883–1884), que dio la condición suficiente para la compacidad, y Arzelà (1895), que demostró la condición necesaria y a quien se debe la primera presentación clara del resultado. Fréchet (1906) demostró una generalización del teorema a funciones reales continuas con dominio compacto métrico (Dunford y Schwartz, 1958, p. 382). Formulaciones más modernas del teorema permiten que el dominio sea compacto Hausdorff y que el espacio de llegada sea sólo métrico.

Definiciones previas

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A continuación se definen las propiedades de un conjunto de funciones continuas sobre un intervalo cerrado y acotado que juegan un papel en el enunciado y la demostración del teorema. Para ello, sea un conjunto de funciones continuas de un intervalo cerrado y acotado a .

Decimos que el conjunto es puntualmente acotado si, fijando cualquier punto del intervalo, las funciones de toman en ese punto un conjunto acotado de valores:

.

Es decir, en cada punto hay una cota para los valores que toman las funciones. Esta cota puede depender del punto considerado del intervalo pero, una vez fijado este, no de las funciones. Si la cota no depende tampoco del punto del intervalo, decimos que es una cota uniforme. Es decir, es uniformemente acotado si

.

Ahora definimos la condición clave del teorema: la equicontinuidad. Diremos que es equicontinuo si

,

es decir, si en cada punto del intervalo todas las son continuas con un mismo (son "igual de continuas" en cada punto). Es decir, puede depender del punto del intervalo, pero no de la función considerada. Si se puede tomar un mismo en cualquier punto , diremos que es uniformemente equicontinuo:

.

Algunos autores, como Rudin,[1]​ definen equicontinuo de esta última manera, y no de la primera. Aquí usaremos la primera definición, pero podremos usar ambas condiciones indistintamente, ya que en caso de que sea compacto (cerrado y acotado) ambas definiciones son equivalentes,[1]​ y en el teorema a demostrar siempre se consideran funciones definidas en intervalos de ese tipo.

Enunciado del teorema

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La versión más sencilla del teorema se puede enunciar como sigue:

Sea un conjunto de funciones reales continuas de un intervalo cerrado y acotado . Entonces, son equivalentes:

  1. es uniformemente acotado y equicontinuo.
  2. Cualquier sucesión de funciones de tiene una subsucesión uniformemente convergente.

Para se puede pedir sólo que sea puntualmente acotado.

Demostración

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Implicación directa

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Demostramos primero que usando sólo que es puntualmente acotado. Primero tomamos una sucesión de funciones de . Queremos encontrar una subsucesión uniformemente convergente. La construcción se basa en un argumento diagonal.

Sea el conjunto de racionales del intervalo. Como es cerrado y acotado, claramente , donde la barra denota la adherencia. Además, al ser los racionales un conjunto numerable, existe una numeración de los elementos de . Usando la numeración vamos a construir subsucesiones de la sucesión original como sigue:

Para consideramos la sucesión numérica formada por los valores de las funciones de la sucesión evaluadas en . Esto es, . Al ser puntualmente acotado, esta sucesión es acotada, por lo que, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una parcial convergente que denotaremos por donde el 1 representa que viene de considerar la subsucesión convergente de la sucesión evaluada en . Aunque no esté escrito explícitamente en la forma es importante recordar que las funciones son un funciones que ya estaban en la sucesión de . Por tanto, hemos construido una subsucesión de la sucesión original de funciones que ahora converge al evaluarla en .

Ahora tomamos las funciones de la sucesión que acabamos de construir y las evaluamos en : . Como antes, esta sucesión tiene una parcial convergente que ahora denotaremos por . Esta nueva sucesión de funciones, , converge al ser evaluada en por ser subsucesión de y al ser evaluada en por construcción. Y podemos continuar así sucesivamente: ahora tomamos esta nueva sucesión y la evaluamos en , obtenemos una subsucesión de la original que converge al ser evaluada en y , esta nueva sucesión la evaluamos en , etcétera.

Querríamos poder afirmar que hemos construido una subsucesión de la original que converge al ser evaluada en cualquier racional de . Aquí es donde entra en juego el argumento diagonal. Escribimos las sucesiones que hemos construido:

Tomamos la sucesión de las funciones que aparecen en la diagonal: . Esta sucesión converge en todos los racionales del intervalo: tomemos un cierto . Para , son una subsucesión de , y esta converge al ser evaluada en por construcción. Por tanto, también.

Ahora, afirmamos que converge uniformemente. Para ello, veamos que es uniformemente de Cauchy. Es decir, queremos ver que, fijado , para suficientemente grandes se tiene que .

Por equicontinuidad, para ese , existe tal que se tiene que (aquí estamos usando de hecho la equicontinuidad uniforme, pero podemos porque es compacto). Como es denso en , tenemos que y, por compacidad de , existe un número finito de cuyas bolas ya recubren : . Además, son sucesiones convergentes, luego de Cauchy: . Tomemos .

Ahora, dado arbitrario, si , tenemos que existe un tal que porque , así que

Así, es uniformemente de Cauchy, por lo que es uniformemente convergente, como queríamos.

Implicación inversa

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Veamos el recíproco. Supongamos que toda sucesión de tiene una parcial convergente y veamos que es uniformemente acotado y equicontinuo.

Veamos primero que es equicontinuo. Si no lo fuera, tal que pero . Fijamos este y, para para cada , podemos construir sucesiones de puntos y de funciones de tales que para todo se tiene que pero . Por hipótesis tiene una subsucesión uniformemente convergente a una cierta función (por ser el límite uniforme de funciones continuas continuo). Ahora tenemos que

,

donde cada uno de los sumandos se puede hacer menor que para suficientemente grande por convergencia uniforme de hacia y continuidad de . Pero esto último es una contradicción (), por lo que debe ser equicontinuo.

Veamos ahora que es puntualmente acotado. Si no fuera puntualmente acotado, existiría un tal que (todas las posibles cotas (naturales) fallan). Esta sucesión no tiene ninguna parcial uniformemente convergente pues, si tuviera una, sería uniformemente acotada (uniformemente convergente implica uniformemente acotada), pero esto es una contradicción, pues es subsucesión de , que no lo es.

Veamos que al ser compacto, el hecho de ser puntualmente acotado y equicontinuo ya implica ser uniformemente acotado. En efecto, para , por ejemplo, existe tal que . Ahora, y, por ser compacto, existen tales que .

Como cada conjunto es acotado ( es puntualmente acotado), tenemos que para ciertas cotas . Tomamos y afirmamos que es una cota uniforme. En efecto, dado , existe tal que , lo que, por equicontinuidad, implica que . Por tanto, , y esto vale para toda y para todo punto , como queríamos.

Generalizaciones

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A espacios topológicos

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El teorema se puede generalizar a funciones continuas entre dos espacios topológicos generales. En este caso, lo que dice el teorema es lo siguiente:[2]

Sea un espacio topológico compacto, un espacio métrico completo. Un conjunto (el espacio de las funciones continuas de en ) será relativamente compacto en la topología de la métrica del infinito si y solamente si:

  1. es equicontinuo
  2. Para todo , el conjunto es relativamente compacto en .

Debe tenerse en cuenta que si , la condición 2 es equivalente a pedir que para cada , el conjunto sea acotado. En este mismo caso, se cumple que si además es un espacio topólogico conexo, basta verificar que existe un tal que la condición 2 se cumple, y automáticamente se tendrá para todos.

Referencias

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  1. a b Brandsma, Henno (2003). «Compactness in function spaces: Arzelà-Ascoli type theorems». Topology Atlas. Consultado el 12-07-2024. 
  2. THEODORE GAMELIN (2003). Complex Analysis. Springer Science & Business Media. pp. 307 de 478. ISBN 9780387950693. Consultado el 14 de octubre de 2023.