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Principio de acotación uniforme

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En matemáticas, el principio de acotación uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) es uno de los resultados fundamentales en análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn–Banach y el teorema de la aplicación abierta, se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto, de operadores lineales acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme según una norma operativa.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero Hans Hahn también lo demostró de forma independiente.

Teorema

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Principio de acotación uniforme

Sea un espacio de Banach, un espacio vectorial normado y el espacio de todos los operadores lineales continuos desde hasta . Supóngase que es una colección de operadores lineales continuos de a . Si

,

entonces

.

En el caso de que no sea el espacio vectorial trivial, entonces la semidesigualdad utilizada en el supremo del primer término de esta última cadena de igualdades (que tiene un rango de sobre la bola cerrada unidad) puede reemplazarse por una igualdad propia (que tiene un rango sobre la esfera unitaria cerrada).

La integridad de permite plantear la siguiente breve prueba, utilizando el teorema de categorías de Baire.

Demostración
Sea X un espacio de Banach.

Supóngase que por cada

Para cada número entero sea

Cada conjunto es un conjunto cerrado y, según el supuesto,

Por el teorema de categorías de Baire para un espacio métrico completo no vacío , existe algún tal que tiene interior no vacío; es decir, existen y tales que

Sea con y Entonces:

Tomando el supremo sobre en la bola unitaria de y sobre se deduce que

.

También hay demostraciones sencillas que no utilizan el teorema de Baire (Sokal, 2011).

Corolarios

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Corolario

Si una secuencia de operadores acotados converge puntualmente, es decir, el límite de existe para todos los , entonces estos límites puntuales definen un operador lineal acotado .

El corolario anterior no afirma que converge a en la norma del operador, es decir, uniformemente en conjuntos acotados. Sin embargo, dado que está acotado en la norma del operador y el operador límite es continuo, una estimación estándar "" muestra que converge a de manera uniforme en conjuntos compactos.

Demostración
Esencialmente, se considera lo mismo que en la demostración de que una secuencia convergente puntual de funciones uniformemente continuas en un conjunto compacto converge en una función continua.

Por el principio de acotación uniforme, sea un límite superior uniforme de las normas del operador.

Se fija un compacto cualquiera. A continuación, para cualquier , se recubre finitamente (recurriendo a su compacidad) con un conjunto finito de bolas abiertas de radio

Dado que es puntual para cada , para todos los grandes, es para todos los .

En consecuencia, por la desigualdad triangular, se tiene que para todo grande, .

Corolario

Cualquier subconjunto débilmente acotado en un espacio normado está acotado.

De hecho, los elementos de definen una familia acotada puntualmente de formas lineales continuas en el espacio de Banach , que es el espacio dual de . Por el principio de acotación uniforme, las normas de los elementos de como funcionales en , es decir, las normas en el segundo dual están acotadas. Pero para cada la norma en el segundo dual coincide con la norma en , como una consecuencia del teorema de Hahn–Banach.

Sean los operadores continuos de a , dotados de norma de operador. Si la colección no está acotada en , entonces el principio de acotación uniforme implica que:

De hecho, es denso en . El complemento de en es la unión contable de conjuntos cerrados . Según el argumento utilizado para demostrar el teorema, cada es denso en ninguna parte, es decir, el subconjunto es de primera categoría. Por lo tanto, es el complemento de un subconjunto de primera categoría en un espacio de Baire. Por definición de un espacio de Baire, estos conjuntos (llamados exiguos o residuales) son densos. Tal razonamiento conduce al principio de condensación de singularidades, que puede formularse de la siguiente manera:

Sea un espacio de Banach, una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cada sea una familia ilimitada en Entonces, el conjunto

es un conjunto residual y, por lo tanto, denso en

Demostración
El complemento de es la unión numerable

de conjuntos de primera categoría. Por lo tanto, su conjunto residual es denso.

Ejemplo: convergencia puntual de la serie de Fourier

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Sea el círculo y sea el espacio de Banach de funciones continuas en con norma del supremo. Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento en para el cual la serie de Fourier no converge puntualmente.

Para su serie de Fourier está definida por

y la N-ésima suma parcial simétrica es

donde es el -ésimo núcleo de Dirichlet. Ajústese y considérese la convergencia de El funcional definido por

está ligado.

La norma de en el dual de es la norma de la medida signada a saber

Se puede comprobar que

Entonces, la colección es ilimitada en el dual de Por lo tanto, según el principio de acotación uniforme, para cualquier el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en es denso en

Se puede concluir más aplicando el principio de condensación de singularidades. Sea una secuencia densa en Defínase de forma similar a la anterior. El principio de condensación de singularidades dice entonces que el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en cada es denso en (sin embargo, la serie de Fourier de una función continua converge a para casi cada por el teorema de Carleson).

Generalizaciones

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En un espacio vectorial topológico (EVT) , el término "subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de subconjunto acotado de von Neumann. Si también es normado o seminormado, supóngase que con (semi)norma , entonces un subconjunto está acotado (según von Neumann) si y solo si es una norma acotada, que por definición significa que

Espacios barrilados

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Los intentos de encontrar clases de espacios localmente convexos en las que se cumpla el principio de acotación uniforme finalmente condujeron a los espacios barrilados. Es decir, el escenario menos restrictivo para el principio de acotación uniforme es un espacio barrilado, en el que se cumple la siguiente versión generalizada del teorema (Bourbaki, 1987, Theorem III.2.1):

Dado un espacio barrilado y un espacio localmente convexo , cualquier familia de operadores lineales continuos acotados puntualmente desde a es equicontinua (e incluso uniformemente equicontinua).

Alternativamente, la afirmación también es válida siempre que sea un espacio de Baire e sea un espacio localmente convexo.[1]

Acotación uniforme en espacios vectoriales topológicos

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Se dice que una familia de subconjuntos de un espacio vectorial topológico es uniformemente acotada en , si existe algún subconjunto acotado de tal que

lo que sucede si y solo si

es un subconjunto acotado de . Si es un espacio vectorial normado, entonces esto sucede si y solo si existe algún real tal que En particular, si es una familia de aplicaciones de a y si , entonces la familia está uniformemente acotada en si y solo si existe algún subconjunto acotado de tal que lo que ocurre si y solo si es un subconjunto acotado de

Proposición[2]

Sea un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos, e , y sea cualquier subconjunto acotado de Entonces, la familia de conjuntos está uniformemente acotada en si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. es equicontinuo.
  2. es un espacio compacto y convexo de Hausdorff subespacio de , y para cada , la órbita es un subconjunto acotado de .

Generalizaciones que involucran subconjuntos no exiguos

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Aunque la noción de un conjunto no exiguo se utiliza en la siguiente versión del principio acotado uniforme, se supone que el dominio no es un espacio de Baire.

Teorema[2]

Sea un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos, e (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos). Para cada se denota la órbita de por

y sea el conjunto de todos los , cuya órbita es un subconjunto acotado de Si es de segunda categoría (es decir, no exiguo) en , entonces y son equicontinuos.

Cada subespacio vectorial propio de un EVT tiene un interior vacío en .[3]​ Entonces, en particular, cada subespacio vectorial propio que está cerrado no es denso en ninguna parte en , y por lo tanto, de la primera categoría (exiguo) en (y lo mismo también es cierto para todos sus subconjuntos). En consecuencia, cualquier subespacio vectorial de un EVT que sea de segunda categoría (no exiguo) en debe ser un subconjunto denso de (ya que de lo contrario, su cierre en sería un subespacio vectorial propio cerrado de , y por lo tanto, de primera categoría).[3]

Demostración[2]
Demostración de que es equicontinuo:

Sean entornos equilibrados del origen en que satisfacen . Se debe demostrar que existe un entorno del origen en tal que para cada

Sea

,

que es un subconjunto cerrado de (porque es una intersección de subconjuntos cerrados) que para cada también satisface y

(como se mostrará, el conjunto es de hecho un entorno del origen en porque el interior topológico de en no está vacío). Si , entonces está limitado en , lo que implica que existe algún número entero tal que , por lo que si entonces Dado que era arbitrario,

Esto prueba que

Debido a que es de segunda categoría en , lo mismo debe ser cierto para al menos uno de los conjuntos para algún La aplicación definida por es un homeomorfismo (sobreyectivo), por lo que el conjunto es necesariamente de segunda categoría en . Debido a que está cerrado y es de segunda categoría en , su interior en no está vacío. Elíjase . Debido a que la aplicación definida por es un homeomorfismo, el conjunto

es un entorno de en , lo que implica que lo mismo ocurre con su superconjunto Y así, por cada

Esto demuestra que es equicontinuo. Q.E.D.


Demostración de que :

Debido a que es equicontinuo, si está acotado en , entonces está acotado uniformemente en . En particular, para cualquier , dado que es un subconjunto acotado de , es un subconjunto uniformemente acotado de . Por lo tanto, . Q.E.D.

Secuencias de aplicaciones lineales continuas

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El siguiente teorema establece condiciones para que el límite puntual de una secuencia de aplicaciones lineales continuas sea en sí mismo continuo.

Teorema[4]

Supóngase que es una secuencia de aplicaciones lineales continuas entre dos espacios vectoriales topológicos, e .

  1. Si el conjunto de todos los para los cuales es una secuencia de Cauchy en de segunda categoría en , entonces
  2. Si el conjunto de todos los en el que existe el límite en es de segunda categoría en y si es un espacio vectorial topológico metrizable completo (como un espacio de Fréchet o un espacio F), entonces y son una aplicación lineal continua.

Teorema[3]

Si es una secuencia de aplicaciones lineales continuas desde un espacio F a un espacio vectorial topológico de Hausdorff tal que para cada el límite

existe en , entonces es una aplicación lineal continua y las aplicaciones son equicontinuas.

Si además el dominio es un espacio de Banach y el codominio es un espacio vectorial normado, entonces

Dominio metrizable completo

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Dieudonné (1970) demostró una forma más débil de este teorema con un espacio de Fréchet en lugar de los habituales espacios de Banach.

Teorema[2]

Sea un conjunto de operadores lineales continuos desde un espacio vectorial topológico metrizable completo (como un espacio de Fréchet o un espacio F) a un espacio vectorial topológico de Hausdorff . Si por cada , la órbita

es un subconjunto acotado de , entonces es equicontinuo.

De esta manera, en particular, si es también un espacio vectorial normado y si

entonces es equicontinuo.

Véase también

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Referencias

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  1. Shtern, 2001.
  2. a b c d Rudin, 1991, pp. 42−47.
  3. a b c Rudin, 1991, p. 46.
  4. Rudin, 1991, pp. 45−46.

Bibliografía

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