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Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

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El teorema de Euler sobre funciones homogéneas es una caracterización de las funciones homogéneas.

Enunciado

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Una función se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario :

Si una función es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:
Es decir, de manera más simplificada:

Demostración

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Escribiendo y

diferenciando la ecuación con respecto a encontramos, aplicando la regla de la cadena, que

Así que:

En concreto, eligiendo , la anterior ecuación puede reescribirse como:

,

lo cual prueba el resultado.

Para una demostración del recíproco, ver [1].

  • Supongamos que es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo y diferenciado la ecuación

con respecto a , encontramos por la regla de la cadena que:

Y por tanto:

Y finalmente:

Aplicaciones del teorema

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Aplicaciones en termodinámica

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Si la función de estado termodinámica es:

  • Homogénea de grado 1: función de variables extensivas :
  • Homogénea de grado 0: función de variables intensivas :

Bibliografía

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  • Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
  • Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España