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Teorema de Zsigmondy

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En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide an - bn y no divide ak-bk por ningún entero positivo k<n, con las siguientes excepciones:

  • n = 1, ab = 1; entonces anbn = 1 que no tiene divisores primos
  • n = 2, a + b una potencia de dos; entonces cualquier factor primo impar de a2 - b2 = (a + b)(a1 - b1) debe estar contenido en a1 - b1, que también es par
  • n = 6, a = 2, b = 1; entonces a6b6 = 63 = 32×7 = (a2b2)2(a3b3)

Esto generaliza el teorema de Bang,[1]​ que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces 2n − 1 tiene un divisor primo que no divide ningún 2k − 1 con k < n.

De manera similar, an + bn tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de 23 + 13 = 9.

El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.[2][3]

Historia

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El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

Generalizaciones

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Sea una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto

es decir, el conjunto de índices tal que cada primo dividiendo también divide algunos para algunos . Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que , y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es , y el de la secuencia de Pell es . En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier[4]​ demostraron que, en general, si es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces (ver OEIS: A285314,[5]​ solo hay 13 , a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.

También se sabe que si es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy es finito.[6]​ Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en , aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en .[7]

Véase también

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Referencias

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  1. Bang, A. S. (1886). «TALTHEORETISKE UNDERSØGELSER». Tidsskrift for mathematik 4: 70-80. ISSN 0909-2528. Consultado el 8 de abril de 2021. 
  2. «LISTSERV - NMBRTHRY Archives - LISTSERV.NODAK.EDU». listserv.nodak.edu. Consultado el 8 de abril de 2021. 
  3. Artin, Emil (1955). «The orders of the linear groups». Communications on Pure and Applied Mathematics (en inglés) 8 (3): 355-365. ISSN 1097-0312. doi:10.1002/cpa.3160080302. Consultado el 8 de abril de 2021. 
  4. Y. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122
  5. «A285314 - OEIS». oeis.org. Consultado el 8 de abril de 2021. 
  6. J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237
  7. P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.

Bibliografía

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Enlaces externos

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