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Demostración visual del teorema de la probabilidad total para el caso n = 4.
El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:
Demostración[editar]
Por hipótesis tenemos una partición
del espacio muestral
.
Por lo tanto el suceso
se puede escribir como
![{\displaystyle B=(B\cap A_{1})\cup (B\cap A_{2})\cup \cdots \cup (B\cap A_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59230a97b3b9e0bea22f6dbcab1a650994fd8f82)
ahora bien, los conjuntos
son disjuntos dos a dos , ya que en caso contrario los
tampoco
lo serían. En consecuencia
![{\displaystyle P(B)=P(B\cap A_{1})+P(B\cap A_{2})+\cdots +P(B\cap A_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d5243fc1d01b2d4923491166475a85f13ff5a9)
Por último, se sabe que
para cualesquiera sucesos
y
. Luego
![{\displaystyle P(B)=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+\ldots +P(B|A_{n})P(A_{n})=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c146bbdbcae214aabb7908c5a5b8f61f5f3e5d90)
que era lo que se quería demostrar.
Véase también[editar]
Enlaces externos[editar]