Teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados
En matemáticas, específicamente en la teoría del análisis funcional y de los espacios de Hilbert, los teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados son generalizaciones de los teoremas de Hahn–Banach a partir de funcionales lineales (que siempre se valoran en los números reales o en los números complejos ) sobre operadores lineales valorados en espacios vectoriales topológicos (EVTs).
Definiciones
[editar]En X e Y habrá espacios vectoriales topológicos (EVTs) sobre el cuerpo ; y L(X; Y) denotarán el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas de X a Y, donde si X e Y son espacios normados, entonces se dota a L(X; Y) con su norma operatoria canónica.
Extensiones
[editar]Si M es un subespacio vectorial de un EVT X, entonces Y tiene la propiedad de extensión de M a X si cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión lineal continua para todo X. Si X e Y son espacios vectoriales normados, entonces se dice que Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X si se puede elegir que esta extensión lineal continua tenga una norma igual a | f |.
Un EVT Y tiene la propiedad de extensión de todos los subespacios de X (a X) si para cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión de M a X. Si X e Y son espacios vectoriales normados, entonces Y tiene la propiedad de extensión métrica de todo el subespacio de X (a X) si para cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X.
Un EVT Y tiene la propiedad de extensión[1] si para cada espacio localmente convexo X y cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión de M a X.
Un espacio de Banach Y tiene la propiedad de extensión métrica[1] si para cada espacio de Banach X y cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X.
1-extensiones
Si M es un subespacio vectorial del espacio normado X sobre el cuerpo , entonces un espacio normado Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de M a X si para cada x ∉ M, cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión tal que | f | = | F |. Se dice que Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión si Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de M a X para cada espacio de Banach X y cada subespacio vectorial M de X.
Espacios inyectivos
[editar]Un espacio localmente convexo Y es inyectivo[1] si para cada espacio localmente convexo Z que contiene Y como un subespacio vectorial topológico, existe una proyección continua desde Z hasta Y.
Un espacio de Banach Y es 1-inyectivo[1] o un espacio P1 si para cada espacio de Banach Z contiene Y como un subespacio vectorial normado (es decir, la norma de Y es idéntica a la restricción habitual a Y de la norma de Z), existe una proyección continua de Z a Y que tiene la norma 1.
Propiedades
[editar]Para que un EVT Y tenga la propiedad de extensión, debe ser completo (ya que debe ser posible extender la función identidad desde Y hasta la completación Z de Y; es decir, a la aplicación Z → Y).[1]
Existencia
[editar]Si f : M → Y es un aplicación lineal continua desde un subespacio vectorial M de X a un espacio de Hausdorff completo Y, entonces siempre existe una extensión lineal continua única de f desde M hasta el cierre de M en X.[1][2] En consecuencia, basta con considerar únicamente aplicaciones de subespacios vectoriales cerrados a espacios completos de Hausdorff.[1]
Resultados
[editar]Cualquier espacio localmente convexo que tenga la propiedad de extensión es inyectivo.[1] Si Y es un espacio de Banach inyectivo, entonces para cada espacio de Banach X, cada operador lineal continuo de un subespacio vectorial de X a Y tiene una extensión lineal continua a todo X.[1]
En 1953, Alexander Grothendieck demostró que cualquier espacio de Banach con la propiedad de extensión es de dimensión finita, o no es separable.[1]
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Ejemplos
[editar]Productos del cuerpo subyacente
Supóngase que es un espacio vectorial sobre , donde es o y sea cualquier conjunto. Sea , que es el producto de tomado por , o de manera equivalente, el conjunto de todas las funciones con valores en T. Confiriendo a su topología producto habitual, lo que lo convierte en un EVT de Hausdorff localmente convexo. Entonces, tiene la propiedad de extensión.[1]
Para cualquier conjunto , el espacio Lp tiene tanto la propiedad de extensión como la propiedad de extensión métrica.
Véase también
[editar]- Extensión lineal continua
- Operador lineal continuo
- Teorema de Hahn–Banach
- Teorema del hiperplano de separación
Referencias
[editar]Bibliografía
[editar]- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.