Test de Dini

En matemáticas, los tests de Dini y de Dini-Lipschitz son procedimientos muy precisos que pueden usarse para probar que la serie de Fourier de una función converge en un punto dado. Reciben su nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz.^[1]

Definición

Sea $f$ una función definida en $[0,2\pi ]$ , sea $t$ un punto y $\delta$ una constante positiva. Definimos el módulo local de continuidad en el punto $t$ como

\left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|

Nótese que se considera $f$ una función periódica. Por ejemplo, si $t=0$ y $\epsilon$ es negativo, se tiene $f(\epsilon )=f(2\pi +\epsilon )$ .

El módulo global de continuidad (o, simplemente, módulo de continuidad) se define como

\omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)

Con estas definiciones se pueden enunciar los resultados principales

Teorema (test de Dini): Supongamos que una función

f

satisface en un punto

t

que

\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .

Entonces la serie de Fourier de

f

converge en

t

a

f(t)

.

Por ejemplo, el teorema se cumple con $\omega _{f}=\log ^{-2}\left({\frac {1}{\delta }}\right)$ pero no con $\log ^{-1}\left({\frac {1}{\delta }}\right)$ .

Teorema (test de Dini-Lipschitz): Supongamos que una función

f

satisface

\omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.

Entonces la serie de Fourier de

f

converge uniformemente a

f

.

En particular, cualquier función de una clase de Hölder satisface el test de Dini-Lipschitz.

Precisión

Ambos tests son lo mejor que pueden ser. Para el test de Dini-Lipschitz, es posible construir una función $f$ cuyo módulo de continuidad satisface el test con $O$ en lugar de $o$ , esto es,

\omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.

y la serie de Fourier de $f$ diverge. Para el test de Dini, la afirmación más precisa es un poco más larga. Afirma que para cualquier función $\Omega$ tal que