Test de convergencia

En matemáticas, los test de convergencia son métodos para evaluar la convergencia, la convergencia condicional, la convergencia absoluta, el intervalo de convergencia y divergencia de una serie infinita.

Lista de tests

Límite del sumando

También denominado test preliminar.^[1] Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, es decir, si $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ entonces la serie diverge. En este sentido, las sumas parciales son Sucesión de Cauchy si y solo si este límite existe y es igual a cero. El test no es concluyente si el límite del sumando es cero.

Criterio de d'Alembert

Suponemos que existe $r$ tal que: $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie es divergente. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Criterio de la raíz de Cauchy

Definimos r cómo:

r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe y es del mismo valor).

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Test de la integral

La serie se puede comparar con una integral y establecer de esta forma la convergencia o divergencia de la misma. Si $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ es una función positiva y monótona decreciente tal que $f(n)=a_{n}$ . Si

\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,

entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. De esta forma, la serie converge si y solo si la integral converge.

Test por comparación directa

Si la serie $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ es absolutamente convergente y $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ para a n suficientemente grande, entonces la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge absolutamente.

Test de comparación de límites

Si $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$ , y el límite $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ existe y es diferente de cero, entonces $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge si y solo si $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea $\left\{a_{n}\right\}$ una secuencia positiva no creciente. Entonces la suma $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge si y solo si la suma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ converge. Además, si convergen, entonces $A\leq A^{*}\leq 2A$ .

Test de Abel

Suponiendo que las siguientes condiciones se cumplen:

$\sum a_{n}$ es una serie convergente,
$b_{n}$ es una sucesión monótona y limitada

Entonces $\sum a_{n}b_{n}$ es también convergente. Nótese que este criterio es especialmente útil en el supuesto de que $\sum a_{n}$ sea una sucesión convergente no absoluta (léase condicional). En el caso de que sea absolutamente convergente, a pesar de aplicarse, es casi un corolario evidente.

Test para series alternadas

También conocido como Criterio de Leibniz, suponemos que las siguientes suposiciones son ciertas:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ es una serie cuyos términos oscilan entre valores positivos y negativos,
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ,
el valor absoluto de cada término es menor que el valor absoluto del término precedente.