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Transporte paralelo

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En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar[nota 1]​ vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.

Campos paralelos sobre curvas diferenciables

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Un campo vectorial sobre una curva diferenciable se llama paralelo si

para cualquier t. La interpretación de la fórmula anterior es que derivar covariantemente el campo respecto al vector tangente a la curva , como el ángulo entre dos vectores es uno de los aspectos que podría variar, en variedades de Riemann donde se puede definir la noción de ángulo la ecuación anterior, implica que el ángulo se mantiene constante y, por tanto, que el vector es transportado paralelamente ya que su inclinación respecto a la curva no varía.

Transporte paralelo

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Sean M una variedad diferenciable con conexión y una curva suave. Sean y . Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de tal que . se llama transporte paralelo de a lo largo de .

Dada una métrica con unos correspondientes Símbolos de Christoffel, las ecuaciones que debe cumplir un campo vectorial para ser transporte paralelo a lo largo de la curva son:

A esto se le añade el dato inicial:

Este sistema de ecuaciones diferenciales lineales tiene solución única, con lo que se garantiza la existencia y unicidad del transporte paralelo.

Geodésicas

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Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión . Una curva diferenciable es una geodésica si (como campo vectorial a lo largo de ) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

Campos vectoriales paralelos y geodésicos

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Un campo vectorial sobre M se denomina paralelo si

y geodésico si

.

Ejemplo

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  • En el espacio usual n-dimensional , todos los Símbolos de Christoffel son , por lo que el transporte paralelo que lleva a lo largo de la curva es .


Recuperación de la conexión a partir del transporte paralelo

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Dada una derivada covariante ∇, el transporte paralelo sobre la curva γ se obtiene integrando la igualdad . Por el contrario, en el caso de que sea posible dar una noción concreta del transporte paralelo, entonces se puede obtener a partir de este, diferenciando, su correspondiente conexión.

Si consideramos la colección de funciones que envían cada curva γ de la variedad a esa misma curva en otro punto

(donde es un espacio vectorial) y de forma que

  1. , la transformación identidad de Eγ(s).
  2. La dependencia de ; en γ, s, y t es suave.

Dada tal descripción del transporte paralelo, entonces es posible recuperar la conexión asociada en E de la siguiente forma. Dada γ una curva diferenciable en la variedad M con punto inicial γ(0) y con vector tangente X = γ′(0). si V es una sección de E a través de γ, entonces consideremos

Justo esta definición define la conexión ∇ en E utilizada para definir inicialmente el campo paralelo que hemos considerado. Se puede comprobar también, que dada esta conexión, se obtiene el mismo transporte .

Véase también

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Notas

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  1. Se trata de buscar una aplicación T sobr el espacio tangente en dos puntos diferentes, para cada vector v del espacio tangente en el primer punto se obtiene un vector en el segundo espacio w, ese segundo vector se llama vector transportado T(v) con w = T(v).

Referencias

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Bibliografía

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