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Trasposición de un operador lineal

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En álgebra lineal, la trasposición de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales, definida sobre el mismo cuerpo, es otra aplicación inducida entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales. La trasposición o adjunto algebraico de una aplicación lineal se utiliza a menudo para estudiar la aplicación lineal original. Este concepto está generalizado por los funtores adjuntos.

Definición

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Sea el espacio dual de un espacio vectorial . Sean e dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Si es una aplicación lineal, entonces su adjunto algebraico o dual,[1]​ es la aplicación definida por El funcional resultante se llama retorno de por

El espacio dual de un espacio vectorial topológico (EVT) se denota por Si y son EVTs, entonces una aplicación lineal es débilmente continua si y solo si , en cuyo caso se tiene que denota la restricción de a La aplicación se llama trasposición[2]​ o adjunto algebraico de La siguiente identidad caracteriza la traspuesta de :[3]

donde es el pareado natural definido por

Propiedades

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La asignación produce un aplicación lineal inyectiva entre el espacio de operadores lineales de a y el espacio de operadores lineales de a Si , entonces el espacio de aplicaciones lineales es un álgebra bajo una función compuesta, y la asignación es entonces un antihomomorfismo de álgebras, lo que significa que En el lenguaje de la teoría de categorías, tomar el dual de espacios vectoriales y la trasposición de aplicaciones lineales es, por tanto, un funtor de la categoría de espacios vectoriales sobre a sí mismo. Se puede identificar con usando la inyección natural en el doble dual.

  • Si y son aplicaciones lineales, entonces [4]
  • Si es un isomorfismo del espacio vectorial (una función sobreyectiva), entonces también lo es la traspuesta
  • Si e son espacios vectoriales normados, entonces

y si el operador lineal está acotado, entonces la norma de operador de es igual a la norma de ;[5][6]​ lo que implica que

y además,

Polares

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Supóngase ahora que es un operador lineal débilmente continuo entre espacios vectoriales topológicos e con espacios duales continuos e respectivamente. Sea el sistema dual canónico, definido por donde se dice que y son ortogonales si Para cualquier subconjunto y , sea

que denota el polar (absoluto) de en (y respectivamente, de en ).

  • Si y son conjuntos convexos y débilmente cerrados que contienen el origen, entonces implica [7]
  • Si y , entonces[4]

y

Aniquiladores

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Supóngase que y son espacios vectoriales topológicos y es un operador lineal débilmente continuo (por lo tanto, ). Los subconjuntos dados y definen sus aniquiladores (con respecto al sistema dual canónico) mediante[6]

y

  • El núcleo de es el subespacio de ortogonal a la imagen de :[7]
  • La aplicación lineal es una función inyectiva si y solo si su imagen es un subconjunto débilmente denso de (es decir, la imagen de es densa en cuando a se le da la topología débil inducida por ).[7]
  • La traspuesta es continua cuando tanto como están dotados con una *topología débil (respectivamente, ambos están dotados con la topología dual fuerte, ambos están dotados con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos compactos, y ambos están dotados con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos). [8]
  • (Sobreyección de espacios de Fréchet): Si e son espacios de Fréchet, entonces el operador lineal continuo es una función sobreyectiva si y solo si (1) la traspuesta es una función inyectiva y (2) la imagen de la traspuesta de es un subconjunto de débilmente cerrado (es decir, *débilmente cerrada).[9]

Duales de espacios cocientes

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Sea un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff y denótese la aplicación del cociente canónico por

Supóngase que está dotado de una topología cociente inducida por la aplicación cociente Entonces, la traspuesta de la aplicación cociente se valora en y

es un isomorfismo de EVT en Si es un espacio de Banach, entonces también es una isometría.[6]​ Usando esta traspuesta, cada funcional lineal continuo en el espacio cociente se identifica canónicamente con un funcional lineal continuo en el aniquilador de

Duales de subespacios vectoriales

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Sea un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff Si y si es una extensión lineal continua de a , entonces la asignación induce un isomorfismo en el espacio vectorial

que es una isometría si es un espacio de Banach.[6]

Denótese la inyección canónica por

La traspuesta de la aplicación de inclusión es

cuyo núcleo es el aniquilador y que es sobreyectivo por el teorema de Hahn–Banach. Esta aplicación induce un isomorfismo de espacios vectoriales

Representación como matriz

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Si la aplicación lineal está representada por la matriz con respecto a dos bases de e entonces está representada por la matriz traspuesta

con respecto a las bases duales de y de ahí el nombre. Alternativamente, como está representado por que actúa hacia la derecha en los vectores columna, está representado por la misma matriz que actúa hacia la izquierda en los vectores fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en que identifica el espacio de los vectores columna con el espacio dual de los vectores fila.

Relación con el adjunto hermítico

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La identidad que caracteriza a la traspuesta, es decir, es formalmente similar a la definición del adjunto hermítico, sin embargo, la traspuesta y el adjunto hermítico no son la misma aplicación. La traspuesta es una aplicación y está definida para aplicaciones lineales entre cualquier espacio vectorial e sin requerir ninguna estructura adicional. El adjunto hermítico asigna y solo se define para aplicaciones lineales entre espacios de Hilbert, tal como se define en términos del producto interno en un espacio de Hilbert. Por lo tanto, el adjunto hermítico requiere más estructura matemática que la traspuesta.

Sin embargo, la traspuesta se usa a menudo en contextos donde los espacios vectoriales están equipados con una forma bilineal no degenerada como el producto escalar euclídeo u otro producto interior real. En este caso, la forma bilineal no degenerada es a menudo usada implícitamente para realizar aplicaciones entre los espacios vectoriales y sus duales, para expresar la aplicación traspuesto como un aplicación Para un espacio de Hilbert complejo, el producto interno es sesquilineal y no bilineal, y estas conversiones cambian la traspuesta en la aplicación adjunta.

Más precisamente: si e son espacios de Hilbert y es una aplicación lineal, entonces la traspuesta de y el adjunto hermítico de que se denotan respectivamente por y están relacionados. Denótese ahora por y las isometrías antilineales canónicas de los espacios de Hilbert e en sus duales. Entonces, es la composición de aplicaciones siguiente:[10]

Aplicaciones al análisis funcional

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Supóngase que e son espacios vectoriales topológicos y que es una aplicación lineal. Entonces, muchas de las propiedades de se reflejan en

  • Si y son conjuntos convexos débilmente cerrados que contienen el origen, entonces implica que [4]
  • El espacio nulo de es el subespacio de ortogonal al rango de [4]
  • es inyectiva si y solo si el rango de está débilmente cerrado.[4]

Véase también

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Referencias

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  1. Schaefer y Wolff, 1999, p. 128.
  2. Trèves, 2006, p. 240.
  3. Halmos (1974, §44)
  4. a b c d e Schaefer y Wolff, 1999, pp. 129–130
  5. a b Trèves, 2006, pp. 240-252.
  6. a b c d Rudin, 1991, pp. 92-115.
  7. a b c Schaefer y Wolff, 1999, pp. 128–130.
  8. Trèves, 2006, pp. 199-200.
  9. Trèves, 2006, pp. 382-383.
  10. Trèves, 2006, p. 488.

Bibliografía

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