Tricornio (matemáticas)
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En matemáticas, el tricornio, a veces llamado el conjunto de Mandelbar, es un fractal definido de manera similar al conjunto de Mandelbrot, pero usando la aplicación en lugar de usado para el conjunto de Mandelbrot. Fue presentado por W. D. Crowe, R. Hasson, P. J. Rippon y P. E. D. Strain-Clark.[1] John Milnor encontró conjuntos de tipo tricornio como una configuración prototípica en el espacio de parámetros de polinomios cúbicos reales y en varias otras familias de mapas racionales.[2]
La característica forma de tres esquinas creada por este fractal se repite con variaciones a diferentes escalas, mostrando el mismo tipo de autosimilitud que el conjunto de Mandelbrot. Además de los tricornios más pequeños, versiones en pequeño del conjunto de Mandelbrot también están contenidas dentro del fractal tricornio.
Definición formal
[editar]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Multibar.gif/220px-Multibar.gif)
El tricornio está definido por una familia de polinomios antiholomórficos cuadráticos
dada por
donde es un parámetro complejo. Para cada , se observa la órbita delantera
del punto crítico del polinomio antiholomorfo . En analogía con el conjunto de Mandelbrot, el tricornio se define como el conjunto de todos los parámetros para los cuales está limitada la órbita de avance del punto crítico. Esto equivale a decir que el tricornio es el lugar de conexión de la familia de polinomios antiholomórficos cuadráticos; es decir, el conjunto de todos los parámetros para los que el conjunto de Julia es conexo.
Los análogos de grado superior del tricornio se conocen como multicornios.[3] Estos son los lugares geométricos de conectividad de la familia de polinomios antiholomórficos .
Propiedades básicas
[editar]- El tricornio es compacto y conexo.[4] De hecho, Nakane modificó la prueba de Douady y Hubbard de la conectividad del conjunto de Mandelbrot para construir un difeomorfismo real analítico definido dinámicamente desde el exterior del tricornio hacia el exterior del disco unidad cerrado en el plano complejo. Se pueden definir los rayos externos paramétricos del tricornio como las imágenes inversas en coordenadas cilíndricas bajo este difeomorfismo.
- Cada componente hiperbólico del tricornio es simplemente conexo.[3]
- El límite de cada componente hiperbólico del período impar del tricornio contiene arcos analíticos reales que consisten en parámetros parabólicos cuasi-conformemente equivalentes pero conformemente distintos.[5][6] Este arco se denomina arco parabólico del tricornio, en marcado contraste con la situación correspondiente para el conjunto de Mandelbrot, donde se sabe que los parámetros parabólicos de un período dado están aislados.
- El límite de cada componente hiperbólico de período impar consta solo de parámetros parabólicos. Más precisamente, el límite de cada componente hiperbólico del período impar del tricornio es una simple curva cerrada que consta de exactamente tres puntos de cúspide parabólica, así como de tres arcos parabólicos, cada uno de los cuales conecta dos cúspides parabólicas.[6]
- Todo arco parabólico de período k tiene, en ambos extremos, un intervalo de longitud positiva a través del cual se produce la bifurcación de un componente hiperbólico de período impar k a un componente hiperbólico de período 2k.
Generación
[editar]El siguiente pseudocódigo utiliza operaciones con números complejos para obtener un código más compacto y dinámico.
For each pixel (x, y) on the screen, do:
{
x = scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.5, 1))
y = scaled y coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot Y scale (-1, 1))
zx = x; // zx represents the real part of z
zy = y; // zy represents the imaginary part of z
iteration = 0
max_iteration = 1000
while (zx*zx + zy*zy < 4 AND iteration < max_iteration)
{
xtemp = zx*zx - zy*zy + x
zy = -2*zx*zy + y
zx = xtemp
iteration = iteration + 1
}
if (iteration == max_iteration) //Belongs to the set
return insideColor;
return iteration * color;
}
Otras propiedades topológicas
[editar]El tricornio no está conectado mediante ramas.[5] Hubbard y Schleicher demostraron que hay componentes hiperbólicos del período impar del tricornio que no pueden conectarse al componente hiperbólico del período uno mediante ramas. Inou y Mukherjee demostraron una afirmación más contundente en el sentido de que no hay dos componentes hiperbólicos (no reales) de períodos impares del tricornio que puedan estar conectados por ningún camino.[7]
Es bien sabido que cada rayo de parámetro racional del conjunto de Mandelbrot incide en un solo parámetro.[8][9] Por otro lado, los rayos de parámetros racionales en ángulos periódicos impares (excepto en el período uno) del tricornio se acumulan en arcos de longitud positiva que consisten en parámetros parabólicos.[10]
Además, a diferencia del conjunto de Mandelbrot, la aplicación de linealización dinámica natural de un tricornio hijo al tricornio original es discontinua en una infinidad de parámetros.[7]
Referencias
[editar]- ↑ Crowe, W. D.; Hasson, R.; Rippon, P. J.; Strain-Clark, P. E. D. (1 de enero de 1989). «On the structure of the Mandelbar set». Nonlinearity 2 (4): 541. Bibcode:1989Nonli...2..541C. doi:10.1088/0951-7715/2/4/003.
- ↑ Milnor, John (1 de enero de 1992). «Remarks on iterated cubic maps». Experimental Mathematics 1 (1): 5-24. Consultado el 6 de mayo de 2017 – via Project Euclid.
- ↑ a b Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 de octubre de 2003). «On multicorns and unicorns i: antiholomorphic dynamics, hyperbolic components and real cubic polynomials». International Journal of Bifurcation and Chaos 13 (10): 2825-2844. Bibcode:2003IJBC...13.2825N. doi:10.1142/S0218127403008259. Parámetro desconocido
|citeseerx=
ignorado (ayuda) - ↑ Nakane, Shizuo (1 de junio de 1993). «Connectedness of the tricorn». Ergodic Theory and Dynamical Systems 13 (2): 349-356. doi:10.1017/S0143385700007409. Consultado el 6 de mayo de 2017.
- ↑ a b «Multicorns are not path connected». Math.cornell.edu. Consultado el 6 de mayo de 2017.
- ↑ a b Mukherjee, Sabyasachi; Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 de mayo de 2017). «On multicorns and unicorns II: bifurcations in spaces of antiholomorphic polynomials». Ergodic Theory and Dynamical Systems 37 (3): 859-899. arXiv:1404.5031. doi:10.1017/etds.2015.65.
- ↑ a b Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2021). «Discontinuity of Straightening in Anti-holomorphic Dynamics: I». Transactions of the American Mathematical Society 374: 6445-6481. arXiv:1605.08061v5. doi:10.1090/tran/8381.
- ↑ Goldberg, Lisa R.; Milnor, John (1993). «Fixed points of polynomial maps. Part II. Fixed point portraits». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 26 (1): 51-98. doi:10.24033/asens.1667. Consultado el 6 de mayo de 2017.
- ↑ Milnor, John W (1999). «Periodic Orbits, Externals Rays and the Mandelbrot Set: An Expository Account». .
- ↑ Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2015). «Non-landing parameter rays of the multicorns». Inventiones Mathematicae 204 (3): 869-893. Bibcode:2016InMat.204..869I. arXiv:1406.3428. doi:10.1007/s00222-015-0627-3.