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Deducción matemática de las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton[editar]
La demostración de la primera y segunda ley de Kepler se basa en las leyes de Newton y la ley de gravitación universal.
Primero, tendrá lugar la demostración de la segunda ley de Kepler y, a continuación, la de la primera.
Demostración de la segunda ley de Kepler[editar]
Enunciado matemático
El área barrida entre 2 cuerpos es proporcional a la diferencia de tiempos.
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En primer lugar, se fija un sistema de referencia de coordenadas polares:
- ,
- ,
- ,
donde y son vectores unitarios en las direcciones radial y circunferencial, respectivamente, y es el ángulo que forma el vector con el eje polar (eje de referencia desde el que se mide el ángulo polar).
y satisfacen las siguientes propiedades:
- ; ; .
El vector fuerza se descompone en: . Además, como es una fuerza central, (poner).
Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton,
- . (poner 1)
La velocidad del planeta es la derivada de la posición:
- , (poner 2)
y su aceleración es la derivada de la velocidad:
- . (poner 3)
Usando (1) y (3):
- (poner 4 y 5)
Multiplicando por a ambos lados de (5):
- .
Así que (constante). (poner 6)
Por otra parte, sea el área del sector barrido entre los ángulos y :
- (poner integral). (DIBUJO)
Tomando por simplicidad y denotando .
Por el teorema fundamental del cálculo, . Como es función de , por (6):
- (constante).
Por lo tanto, , para alguna constante .
Como , se obtiene: .
Aplicando esto a dos intervalos de tiempo de igual longitud, y :
- . ■
Demostración de la primera ley de Kepler[editar]
Enunciado matemático
Los cuerpos celestes se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas..
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Aplicando la segunda ley de Newton y la ley de gravitación universal:
- . (poner 7)
Imponiendo que cumpla la ley universal de gravitación:
- . (poner 8)
Igualando (4) y (8):
- . (poner 9)
Despejando de la ecuación (6) se obtiene: , para c constante. (poner 10)
Se puede reescribir esta ecuación, usando (10) como:
- . (poner 11)
Haciendo el cambio y derivando dos veces, obtenemos lo siguiente:
- ;
- .
Usando (10):
- .
Sustituyendo en el lado derecho de (11):
- ,
y en el lado izquierdo aplicando de nuevo el cambio :
- .
De esta forma, la ecuación (9) se puede escribir como:
- .
Esta ecuación diferencial tiene como únicas soluciones:
- , donde y son constantes.
Eligiendo el eje polar de manera que :
- , donde .
Haciendo los cambios y , se obtiene la ecuación de una cónica con foco en el origen:
- , donde es la excentricidad y es la distancia del foco a la directriz.
Según el valor de , esta cónica puede ser una elipse, una hipérbola o una parábola.
En este caso , si la trayectoria de los cuerpos celestes está acotada, el único caso posible es que sea una elipse, . ■