Usuario:Fmercury1980/Mecánica cuántica

Modelo atómico de Bohr

Energía de las órbitas atómicas

$\ E=E_{k}+E_{p}$

$\ E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

$\ E={\frac {r}{2}}({\frac {mv^{2}}{r}})-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

$\ E={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\to E=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}$

$\ L^{2}=m^{2}r^{2}v^{2}=m{\frac {mv^{2}}{r}}r^{3}$

$\ L^{2}=m({\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}})r^{3}=2mr^{2}({\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}})=-2mr^{2}E$

$\ L^{2}=m({\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}})r\to r={\frac {4\pi \epsilon _{0}}{me^{2}}}L^{2}$

$r={\frac {4\pi \epsilon _{0}}{me^{2}}}n^{2}\hbar ^{2}\to r=a_{0}n^{2}$

$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}$

$E={\frac {L^{2}}{-2mr^{2}}}={\frac {-n^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {m^{2}e^{4}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}n^{4}\hbar ^{4}}}=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}n^{2}\hbar ^{2}}}=-{\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}n^{2}h^{2}}}$

Series espectrales

La ley de Coulomb establece que las energía potencial electrostática de un electrón orbitando alrededor del núcleo es inversamente proporcional a su distancia de éste. Dicha energía potencial es siempre negativa (puesto que la fuerza es de atracción, no de repulsión) y se expresa mediante la siguiente fórmula:

$E={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

De esta fórmula se deduce que la dislocación de un electrón hacia una órbita atómica situada a mayor distancia del núcleo (y por lo tanto, más energética), requiere de la absorción de un fotón cuya energía viene determinada por la siguiente ecuación:

$\ E_{foton}=E_{f}-E_{i}$

$E_{foton}=-{\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}n_{f}^{2}h^{2}}}+{\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}n_{i}^{2}h^{2}}}$

$E_{foton}=-{\frac {me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}[{\frac {1}{n_{i}^{2}}}-{\frac {1}{n_{f}^{2}}}]$

$E_{foton}=R[{\frac {1}{n_{i}^{2}}}-{\frac {1}{n_{f}^{2}}}]$

$E_{foton}=R[{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{n_{f}^{2}}}]$ (Series de Lyman)

$E_{foton}=R[{\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{n_{f}^{2}}}]$ (Series de Balmer)

$E_{foton}=R[{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{n_{f}^{2}}}]$ (Series de Paschen)

Modificaciones introducidas por Schrödinger

$\ \nabla _{\alpha }f^{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial ({\sqrt {g}}f^{\alpha })}{\partial x_{\alpha }}}$

$\ \nabla _{\alpha }f^{\alpha }={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial (r^{2}\sin \theta f^{\alpha })}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial (r^{2}\sin \theta f^{\alpha })}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial (r^{2}\sin \theta f^{\alpha })}{\partial \phi }}$

$\nabla ={\vec {u}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\vec {u}}_{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{\phi }{\frac {1}{rsin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$

Relación de De Broglie

$\ h\nu =pc$

$p=h{\frac {\nu }{c}}$

$p=h{\frac {1}{\lambda }}$

$p=\hbar k$

Solución de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi =E\psi$

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }})+{\frac {1}{r^{2}sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi }}]\psi +V\psi =E\psi$

Separación de variables

$\,\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )$

Reformulamos la ecuación de acuerdo con los nuevos parámetros:

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[{\frac {Y}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}{\frac {\partial R}{\partial r}})+{\frac {R}{r^{2}sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }})+{\frac {R}{r^{2}sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi }}]+VRY=ERY$

Dividimos ahora entre RY y multiplicamos por $2mr^{2}\hbar ^{2}$, obteniendo:

${\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial r}}({\frac {\partial R}{\partial r}})+{\frac {1}{Y}}[{\frac {1}{sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }})+{\frac {1}{sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi }}]+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}V={\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}E$

${\frac {1}{Y}}[{\frac {1}{sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }})+{\frac {1}{sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi }}]={\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}{\frac {\partial R}{\partial r}})$

El miembro izquierdo de esta ecuación es una función de las coordinadas angulares $\theta$ y $\phi$, mientras que el miembro derecho lo es de la coordinada radial $r$. Puesto que dichas variables son independientes entre sí, hemos de deducir que el valor de los miembros de esta igualdad equivale a una constante, a la que llamaremos $-l(l+1)$:

${\frac {1}{Y}}[{\frac {1}{sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }})+{\frac {1}{sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi ^{2}}}]=-l(l+1)$

${\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{R}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}{\frac {\partial R}{\partial r}})=-l(l+1)$

La primera se denomina ecuación angular, mientras que la segunda toma el nombre de ecuación radial.

Ecuación angular

Tomemos la ecuación angular y procedamos a imponer sobre ella una nueva separación de variables. Si consideramos que la función $\ Y(\theta ,\phi )$ es un producto de las funciones $\ \Theta (\theta )$ y $\ \Phi (\phi )$, la ecuación quedaría de este modo:

${\frac {1}{Y}}[{\frac {\Phi }{r^{2}sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }})+{\frac {\Theta }{r^{2}sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}]=-l(l+1)$

${\frac {1}{\Theta }}{\frac {1}{r^{2}sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }})+{\frac {1}{\Phi }}{\frac {1}{r^{2}sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}=-l(l+1)$

Multiplicamos ahora por $\ r^{2}sin^{2}\theta$, obteniendo con ello:

${\frac {1}{\Theta }}sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }})+{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}=-l(l+1)r^{2}sin^{2}\theta$

${\frac {1}{\Theta }}sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }})+l(l+1)r^{2}sin^{2}\theta =-{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$

Puesto que el primer miembro de la ecuación es una función de $\ \theta$, mientras que el segundo lo es de $\ \phi$, hemos de deducir que el valor de ambos es una constante, a la que llamaremos $\ m^{2}$:

$-{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}=m^{2}$

${\frac {1}{\Theta }}sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }})+l(l+1)r^{2}sin^{2}\theta =m^{2}$

La primera de estas ecuaciones tiene una solución bastante sencilla:

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \to \Phi (\phi )=e^{im\phi }$

Como $\ \phi$ es una coordinada angular, la función $\ \Phi (\phi )$ está sometida al siguiente gauge:

$\ \Phi (\phi )=\Phi (\phi +2\pi )$

$\ e^{im\phi }=e^{im\phi }e^{im2\pi }\to e^{im2\pi }=1$

De lo que se deduce que m ha de ser un número entero.

La segunda de las ecuaciones, relativa a la función $\ \Theta (\theta )$, tiene una solución algo más compleja:

${\frac {1}{\Theta }}sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }})+l(l+1)r^{2}sin^{2}\theta =m^{2}$

$\Theta (\theta )=AP_{m}^{l}(cos\theta )$

$P_{m}^{l}(cos\theta )=(1-x^{2})^{|m|/2}({\frac {d}{dx}})^{|m|}P_{l}(x)$

$P_{l}(x)={\frac {1}{2^{l}l!}}({\frac {d}{dx}})^{l}(x^{2}-1)^{l}$

Donde la fórmula $\ P_{m}^{l}(cos\theta )$ recibe el nombre de Función asociada de Legendre, mientras que la expresión $\ P_{l}(x)$ se denomina Polinomio de Legendre. $\ A$ es una constante que se obtiene por normalización:

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y(\theta ,\phi )d\theta d\phi =1\to \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }AP_{m}^{l}(cos\theta )e^{im\phi }d\theta d\phi =1\to A=$

De este modo, la función $\ Y(\theta ,\phi )$ tiene los siguientes componentes:

$\ Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )$

$\ Y(\theta ,\phi )=AP_{m}^{l}(cos\theta )e^{im\phi }\to Y(\theta ,\phi )=AP_{m}^{l}(cos\theta )e^{im\phi }$

Ecuación radial

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{R}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}{\frac {\partial R}{\partial r}})=l(l+1)$

Momentum angular

$\ {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

${\hat {L}}={\frac {\hbar }{i}}({\vec {r}}\times \nabla )$

$\nabla ={\vec {u}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\vec {u}}_{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{\phi }{\frac {1}{rsin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$

${\hat {L}}={\frac {\hbar }{i}}r[({\vec {u}}_{r}\times {\vec {u}}_{r}){\frac {\partial }{\partial r}}+({\vec {u}}_{\theta }\times {\vec {u}}_{r}){\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+({\vec {u}}_{\phi }\times {\vec {u}}_{r}){\frac {1}{rsin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}]$

${\hat {L}}={\frac {\hbar }{i}}[{\vec {u}}_{\phi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{\theta }{\frac {1}{sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}]$

$L^{2}=-\hbar ^{2}[{\frac {1}{sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }})+{\frac {1}{sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}]$

${\frac {1}{sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(sin\theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }})+{\frac {1}{sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi ^{2}}}=-l(l+1)Y$

$L^{2}Y=\hbar ^{2}l(l+1)Y\to L^{2}\psi =\hbar ^{2}l(l+1)\psi$

$L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial \phi }}$

Átomo de hidrógeno

$R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi )$

$\ \psi _{nlm}=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$

$\ \psi _{nlm}=R(r)AP_{m}^{l}(cos\theta )e^{im\phi }$