En matemáticas, se dice que una ecuación diferencial es lineal si lo es respecto a la función incógnita y sus derivadas. Puede ser lineal tanto una ecuación diferencial ordinaria (una sola variable independiente), como una ecuación en derivadas parciales (dos o más variables independientes). Se caracterizan por tener soluciones que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de otras soluciones, formando así un espacio vectorial (en el caso homogéneo) o afín (no homogéneo), propiedad que no cumplen las ecuaciones diferenciales no lineales.
Una ecuación diferencial lineal tiene forma de:
con
lineal respecto a la función incógnita
y sus derivadas
. Escrito de otra forma, se puede expresar como:
donde los coeficientes
y
son funciones diferenciales arbitrarias no necesariamente lineales, y
son las derivadas de la función incógnita
en la variable
. El orden de la ecuación diferencial viene dado por el mayor entero no negativo
tal que la función
no sea idénticamente nula. Si
, entonces la ecuación diferencial lineal se llama homogénea y en caso contrario no homogénea.
Introducción[editar]
Un operador lineal diferencial L se define como una aplicación que actúa sobre funciones diferenciables tal que
, con
, siendo
o bien
donde
y
son las derivadas sucesivas de
.
Se llama lineal debido a que verifica que, para todo
Ecuación lineal de primer orden[editar]
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
donde
y
son funciones continuas en un intervalo cerrado
.
La solución de esta ecuación con dato inicial
viene dada por:
Resolución detallada
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La idea consiste en encontrar una función que nos permita transformar
en la derivada de un producto.
Para ello se necesita que . Sea entonces
Se multiplica la ecuación diferencial por :
Además, la derivada de viene dada por:
Las dos últimas ecuaciones equivalen a:
Finalmente,
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Ejemplo
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Dada la siguiente ecuación:
donde .
Se define y que son funciones continuas para .
Sustituyendo f y g en la ecuación de la parte anterior se obtiene (nótese que ):
![{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=e^{-\int _{2}^{x}{\frac {1}{t}}dt}({\int _{2}^{x}{3se^{\int _{2}^{s}{\frac {1}{t}}dt}}ds}+3)\\&=e^{-\ln(x)+\ln(2)}({\int _{2}^{x}{3se^{\ln(s)-\ln(2)}}ds}+3)\\&={\frac {2}{x}}({\int _{2}^{x}3s^{2}{\frac {1}{2}}ds}+3)\\&={\frac {2}{x}}({\frac {1}{2}}(x^{3}-2^{3})+3)\\&=x^{2}-{\frac {2}{x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be2d753111198f986d691ad17e33074f9cb3d0c)
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Referencias[editar]
Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press.
Blanchard,P., Devaney, R.L., Hall, G.R. (2012). Differential equations. Cengage Learning.