Usuario:Gmma 22/Taller

Función generatriz de momentos (fgm)

Definiremos 2 tipos de momentos:

• R-ésimo momento alrededor del origen: μ′_r=E(X^r)
  Entonces para
  r=0 → μ′₀=E(X⁰)=1
  r=1 → μ′₁=E(X¹)=μ     **Gran importancia, es denotada como la media de la distribución de X
  r=2 → μ′₂=E(X²)
  
• R-ésimo momento alrededor de la media: μ_r=E[(X−μ)^r]
  Entonces para
  r=0 → μ₀=E[(X−μ)⁰]=1
  r=1 → μ₁=E[(X−μ)¹]=E(X¹)−μ=0
  r=2 → μ₂=E[(X−μ)²]=E(X²)−E²x=σ²     **Gran importancia, es denotada como la varianza de la distribución de X
  
  

La función generatriz de momentos M_X(t) de una variable aleatoria X es definida para todos los valores reales de X como:

Teorema:Sea X una variable aleatoria con función generatriz de momentos M_X(t). Entonces

Ejemplo: Si X es una variable aleatoria binomial con parámetros (n,p).

a) Encuentre M_X(t)

b) Encuentre el primer momento alrededor del origen usando el teorema visto y la función generatriz de momentos encontrada en el inciso a

c) Encuentre el segundo momento alrededor del origen usando el teorema visto y la función generatriz de momentos encontrada en el inciso a

d) Encuentre la varianza con los momentos encontrados en los incisos b y c

Teorema:Si a y b son constantes. Entonces

Si X y Y son independientes

Función generatriz de momentos conjunta

También es posible definir la función generatriz de momentos conjunta de 2 o más variables aleatorias. Para cualquier variable aleatoria X₁,X₂,...,X_n la función generatriz de momentos esta definida por:

Para n variables aleatorias independientes X₁,X₂,...,X_n la función generatriz de momentos conjunta es:

Función generatriz de momentos de las distribuciones

Tabla: Función generatriz de momentos de distintas distribuciones

Referencias

• Miller, Irwin (2000). Guillermo Trujano Mendoza, ed. Estadística matemática con aplicaciones. PEARSON EDUCACIÓN. p. 640. ISBN 970-17-0389-8. 
  

• Ross, Sheldon (2007). Introducción a la estadística. España: Reverté. ISBN 978-84-291-5039-1.