Usuario:Heralbica/Cuaderno de bitácora

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Contribuciones mayores en la Wikipedia en español (títulos de los artículos y sus localizadores URL):

(aun no he realizado ninguna contribución como tal, conforme se vallan realizando, las iré señalizando con enlaces)

⇒ Los temas que voy a tratar en mi estudio serán:

• Matrices. Mi tema abarcará el estudio sobre el Teorema de Gerschgorin.
• Algoritmos. Sobre algoritmos trataré el Algoritmo de Dijkstra y el Algoritmo de Euclides y el Agoritmo de Flujos.
• Probabilidad Discreta. Trabajaré sobre la Distribución de Poison, la Distribución de Maxwell-Boltzman, y la Distribucion Beta-Binominal finita y negativa.
• Teoría de juegos. Hablaré del equilibrio de Nash

Resumen total de la contribución realizada:

∞ Elección de los temas a tratar. Heralbica (discusión) 18:33 21/02/2017 (UTC).

El tema que comenzaré tratando va a ser sobre el Teorema de Gerschgorin. Dicho teorema establece que cada valor propio de A pertenece al menos a uno de los D_i y que si k de los discos de Gerschgorin se intersecan entre si y a la vez están aislados de los otros discos entonces su unión contiene exactamente k de los valores propios de A.

El teorema explica que sea A una matriz n x n y defina los discos D_i por r_i = ∑ y D_i = {z ∈ ℂ : |z - a_ii| ≤ r_i}. Entonces ∈ D_i para cualquier valor propio de A. Ademas si S es la unión de m discos los cuales son disjuntos de los restantes n - m entonces S contiene exactamente m valores propios de A.

Explicado en que consiste, mostraré un ejercicio resuelto para explicarlo mejor. Sea A = [a_ij] ∈ ℂ^nxn. Para cada i=1,2,…,n consideremos los círculos cerrados del plano complejo D_i = D(a_ii, r_i) = {z ∈ ℂ :|z - a_ii| ≤ r_i = ∑ |a_ij|. A tales círculos se les llama círculos de Gershgorin. Cada círculo D_i tiene su centro en el elemento a_ii de la diagonal principal y su radio es la suma de los módulos de los restantes elementos de la fila i.

(a) Demostrar el teorema de los círculos de Gershgorin:

Cada valor propio de A pertenece a algún círculo de Gershgorin.

(b) Aplicar el teorema a la matriz A = [].

(c) Lo mismo para la matriz A = []

(d) y al igual con la matriz A = diag (λ₁,λ₂,...,λ_n) ∈ ℂ^{n x n}

(e) Deducir un teorema parecido al de Gershgorin que involucre elementos de columnas.

Su solución se ve a continuación:

(a) Sea λ un valor propio de A y sea x = (x_j) ≠ 0 un vector propio asociado a λ. Llamemos x_i a la coordenada de x de mayor módulo. Claramente |x_i| > 0 pues en otro caso sería x = 0. Se verifica Ax = λx, es decir