Usuario:LuisMiguel2002/Taller

Definición

La ecuación diferencial ordinaria (EDO) $F(y^{(n)},...,y',y)=0$ se dice que es lineal cuando $F$ es lineal en las variables $y^{(k)}$ o, equivalentemente, cuando la ecuación puede expresarse como:

(1)$\,y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=f(t)$

La ecuación tiene orden $(n)$ si la derivada más alta que aparece es la enésima.

Si las funciones $a_{k}$ son constantes, decimos que la ecuación es una EDO lineal a coeficientes constantes.

Soluciones

Si $f(t)$ es idénticamente nula la ecuación se denomina homogénea. La solución general de la ecuación homogénea viene dada por todas las combinaciones lineales de tantas soluciones linealmente independientes como el orden de dicha ecuación; es decir, que sus soluciones forman un espacio vectorial de dimensión $n$.

Si $f(t)$≠0 la ecuación se denomina no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea viene dada por el siguiente teorema:​

Teorema: Sea $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=f(x)$ una ecuación lineal no homogénea y sean $y_{p}(x)$ una solución particular a la ecuación no homogénea e $y_{g}(x)$ la solución general de la ecuación homogenea asociada, entonces, la solución general $y(x)$ de la ecuación no homogénea se puede expresar como: $\,y(x)=y_{p}(x)+y_{g}(x)$

Es decir, que sus soluciones forman un espacio afín de dimensión $n$.

Para comprobar la independencia lineal de las soluciones de (1) podemos acudir al wronskiano. Si el wronskiano no se anula en el intervalo de definición de las soluciones, estas son l.i.

Si fijamos ciertas condiciones iniciales, tenemos garantizada la existencia y unicidad de solución local de (1) por el Teorema de Picard-Lindelöf siempre que las funciones $a_{k}$ sean lineales y $f(t)$ sea Lipschitz de $t$ en un entorno de los valores iniciales.

EDO lineales homogéneas a coeficientes constantes

En esta sección se exponen dos métodos equivalentes de hallar las soluciones de una EDO lineal homogénea de orden $(n)$ de la forma

(2)$\,y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0$

Transformación a un sistema de EDOs de orden 1

Con el cambio de variable $\,x_{i}(t)=y^{(i-1)}$ podemos reescribir (2) como:​

(3)${\vec {x(t)'}}=A{\vec {x(t)}}$

Donde se tiene:

$A={\begin{pmatrix}0&1&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &1\\a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\end{pmatrix}}$ y $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Dada una solución de (3), tomando la primera coordenada $(x_{i,1}(t))$ obtendremos una solución de (2), luego basta con resolver (3) para resolver (2).

La solución general de (3) viene dada por:

$e^{At}{\vec {c}}$

donde $e^{At}$ denota la exponencial de la matriz At y ${\vec {c}}$ es un vector de constantes arbitrarias.

Estudio de la ecuación característica

Dada la ecuación (2), definimos el polinomio p(λ) de orden n como:

(4)$p(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{0}$

De esta manera, cada raíz λ$_{j}$ con multiplicidad $k$≥$1$ del polinomio p(λ), tendrá asociada un conjunto de soluciones.

Caso I - Raíz real con multiplicidad k≥1

Sea λ raíz del polinomio (4) con multiplicidad $k$≥$1$.

Entonces

{$t^{j-1}e^{\lambda t}$}$_{j=1,\dots ,k}$

es un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial (2).

Caso II - Raíces complejas conjugadas con multiplicidad k≥1

Sean $\lambda$±$=a$±$bi$ raíces conjugadas del polinomio (4) con multiplicidad $k$≥$1$.

Entonces

{$t^{j-1}e^{at}cos(bt),t^{j-1}e^{at}sen(bt)$}$_{j=1,\dots ,k}$

es un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial (2).

EDOs no homogéneas a coeficientes constantes

Dada la ecuación (1), como se ha visto en el teorema, una vez obtenida la solución a la ecuación homogénea asociada, solo es necesario encontrar una solución particular y sumando ambas se obtiene la solución general de la ecuación lineal no homogénea.

Para encontrar la solución particular existen varios métodos, entre ellos, el método de variación de los parámetros.

Enlaces externos

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Book%3A_Elementary_Differential_Equations_with_Boundary_Value_Problems_(Trench)