Usuario:MRS~eswiki/integral y función primitiva

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Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F' = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

$\int _{a}^{b}(k\cdot {\mbox{f}}(x)+l\cdot {\mbox{g}}(x))dx=k\cdot \int _{a}^{b}{\mbox{f}}(x)dx+l\cdot \int _{a}^{b}{\mbox{g}}(x)dx$

Aquí están las principales primitivas:

Función F: primitiva de f	función f: derivada de F
${\frac {x^{n+1}}{n+1}}+k$	$x^{n}\$, para todo n ≠ 1
$e^{x}+k\$	$e^{x}\$
$\ln x+k\$	$1 \over x$
${\frac {-1}{(n-1)\cdot x^{n-1}}}+k$	${\frac {1}{x^{n}}}$, para todo n ≠ 1
$-\cos x+k\$	$\sin x\$
$\sin x+k\$	$\cos x\$
${\frac {a^{x}}{\ln a}}$, a > 0 y a ≠ 1	$a^{x}\$
${\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}$	${\sqrt {x}}$
$ax+b\$	$a\$

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x).
Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x².  2x es la derivada de x², 3x² es la de x³, por lo tanto 2x - 3x² tiene como primitiva x² - x³ + k.
Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x₀) = y₀ (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f: ${\mbox{F}}(b)-{\mbox{F}}(a)=\int _{a}^{b}{{\mbox{f}}(x)dx}$

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el aréa entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.

La relación de Chasles:

$\int _{a}^{c}{{\mbox{f}}(x)dx}=\int _{a}^{b}{{\mbox{f}}(x)dx}+\int _{b}^{c}{{\mbox{f}}(x)dx}$

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a < b < c )como analíticos, tiene como consecuencia:

$\int _{a}^{b}{{\mbox{f}}(x)dx}=-\int _{b}^{a}{{\mbox{f}}(x)dx}$ y $\int _{a}^{a}{{\mbox{f}}(x)dx}=0$

La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas.

La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace.

Otras propiedades

Las primitivas de una función impar es siempre par.
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y despues de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0.
En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales: $\int _{-a}^{0}{{\mbox{f}}(x)dx}=\int _{0}^{a}{{\mbox{f}}(x)dx}$

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.

La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).
En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f.
Entonces tenemos la relación:

El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f ^-1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).
Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f ^-1 aplicando la simetría axial al rededor de la diagonal y = x.
El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f ^-1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

Autor: M.Romero Schmidkte ✉