Usuario:Maximo Perez Rivas/Taller

(Documento en construcción, fragmento del Wikilibro, para ser migrado al servidor de la Fac. de Ciencias.)

Ecuaciones cuadráticas

Supón que has presentado un examen de álgebra y tu amiga Daniela ha pasado por el pizarrón de calificaciones. En lugar de informarte sobre tu resultado del examen te dice: “yo tengo dos puntos más que tú, y entre los dos sumamos 15 puntos”.

Con la información que te ha dado Daniela es suficiente para saber tu calificación y también la de ella, ¿cómo puedes hacerlo?

Lo primero que debes hacer es identificar cuál es la cantidad que necesitas averiguar (la llamaremos incógnita) y cuáles son las cantidades que conoces (las llamaremos datos o constantes).

Ahora debes asignar significado a tu incógnita, puedes decir por ejemplo que $x:=$tu resultado y que $x+2:=$el resultado de Daniela.

Una vez que tengas tu información deberás armar la expresión matemática que corresponde a la situación, sabes que la suma de ambos resultados es:

$x+(x+2)=15$

Ahora tienes una ecuación lineal, su solución es tu resultado del examen.

Si no recuerdas cómo resolver este tipo de ecuaciones visita la sección: Ecuaciones lineales.

Una vez que has verificado que $x=6.5$ es tu resultado del examen, podrás obtener fácilmente que $x+2=8.5$ es el resultado de Daniela.

Verifica:

$(6.5)+2=(8.5)$

$(6.5)+(6.5+2)=15$

Para resolver el problema anterior hicimos un modelo matemático: la ecuación lineal $x+(x+2)=15$, cuya solución es el valor $x=6.5$. Construimos esta ecuación a partir de la información aportada por Daniela, dando sentido al uso de la literal $x$ como un valor desconocido que debe cumplir ciertas condiciones. Esta es la base del álgebra.

Hasta ahora has aprendido a resolver ecuaciones lineales. Pero seguramente te encontrarás con problemas donde aparecen incógnitas elevadas al cuadrado.

En esta sección estudiaremos problemas algebraicos que no pueden resolverse mediante ecuaciones lineales, pues la relación entre las variables incluye la operación "elevar al cuadrado". Sobre este tipo de ecuaciones haremos algunas observaciones:

1. Una ecuación cuadrática puede tener hasta dos soluciones.
2. En general, una ecuación cuadrática no puede resolverse usando únicamente las operaciones básicas que servían para resolver ecuaciones lineales $(+,-,*,/)$
3. Para resolver una ecuación cuadrática será necesario considerar además las operaciones elevar al cuadrado y su operación recíproca obtener raíz cuadrada $(x^{2},{\sqrt {x}})$

Ecuaciones de la forma ax²=c

En este tipo de ecuaciones aparece un término que multiplica a $x^{2}$ pero no hay un término que multiplique a $x$

Un situación simple donde se presenta una ecuación cuadrática es:

Se quiere delimitar un terreno cuadrado cuya área sean 81 metros, ¿cuánto deben medir los lados del terreno?

Y este problema puede resolverse identificando dos tipos de cantidades: Una de ellas es el dato que tenemos, se trata de una medida conocida: 81 metros cuadrados. La otra es una incógnita: la medida del lado del terreno cuadrado.

Si llamamos $x$ a la incógnita, estaremos en posibilidades de plantear la ecuación:

$x^{2}=81$

Nota que aquí aparece la operación "elevar al cuadrado", cuya operación inversa es "obtener raíz cuadrada", de manera que podemos replantear nuestra ecuación tomando la raíz cuadrada de las cantidades que aparecen en ambos miembros de la ecuación.

$x={\sqrt {81}}$

$x=9$

Y sabes ahora que los lados del cuadrado deben medir $9$ metros

En general, para resolver una ecuación cuadrática de la forma $x^{2}=c$, basta con obtener la raíz cuadrada de la constante $c$. Recuerda que además de ${\sqrt {c}}$, existe otra solución de esta ecuación, a saber: $-{\sqrt {c}}$. Cada número positivo tiene una única raíz cuadrada, y esta es también un número positivo. Al resolver ecuaciones cuadráticas, el negativo de la raíz cuadrada de un número resulta de especial importancia, pues está asociado con la segunda solución de la ecuación.

Esta ecuación tiene dos soluciones: una de ellas es $x=9$ y la otra es $x=-9$. Pues $9^{2}=81$ y también $(-9)^{2}=81$.

Esto no significa que $-9$ sea raíz cuadrada de $81$, sólo significa que $-9$ es solución de la ecuación cuadrática $x^{2}=81$. Para salir de dudas y entender mejor la diferencia puedes consultar la sección raíces cuadradas. Y el hecho de que $-9$ es una solución de la ecuación cuadrática, tampoco significa que sea solución del problema original, pues claramente no es posible construir un cuadrado cuyos lados midan $-9$ metros.

Algunos problemas pueden dar lugar a ecuaciones como

$x^{2}+9=25$

$x^{2}-16=0$

$4x^{2}=48$

Estos problemas pueden llevarse fácilmente a la forma $x^{2}=c$, para ello basta despejar $x^{2}$ usando únicamente operaciones básicas $(+,-,*,/)$. Nota que las tres ecuaciones que se presentan en el párrafo anterior son equivalentes a la ecuación $x^{2}=16$

Vamos a poner un ejemplo:

Supón que tienes un rompecabezas hecho con 16 piezas cuadradas que pueden acomodarse en un arreglo de 4x4. El área total del rompecabezas debe ser de 36 centímetros cuadrados. ¿Cuánto debe medir el lado de cada una de las pequeñas piezas?

Primero es necesario identificar que: tienes $16$ piezas y que el área total debe ser de $36$ centímetros cuadrados. Esos dos datos son constantes. Sabes también que cada pieza es un cuadrado y que la medida de sus lados es desconocida, se trata de la incógnita del problema, por lo cual debes asignarle una letra para representarla. Así que el área de cada pieza puede ser representada por $x^{2}$.

Usando esa información podemos plantear la ecuación:

$16x^{2}=36$

cuya solución positiva, si la hubiera, corresponde a la medida que debe tener el lado de cada pieza del rompecabezas.

Solución de la ecuación:

$16x^{2}=36$ (esta ecuación tiene la forma $ax^{2}=c$)

$x^{2}={\frac {36}{16}}$ (dividiendo ambos miembros de la ecuación por $16$ se obtiene una ecuación de la forma $x^{2}=c$)

$x^{2}={\frac {9}{4}}$ (simplificando la fracción)

$x={\sqrt {\frac {9}{4}}}$ (tomando la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación)

$x={\frac {3}{2}}$

El significado de esta solución de la ecuación es que una solución al problema sería hacer piezas cuadradas cuyos lados midan ${\frac {3}{2}}=1.5$ centímetros.

Y también:

$x=-{\sqrt {\frac {9}{4}}}$ tomando el negativo de la raíz cuadrada

$x=-{\frac {3}{2}}$

Es importante hacer notar que esta solución de la ecuación no es solución del problema del rompecabezas porque no es posible construir piezas cuyos lados tengan medidas negativas.

Ejercicios

Para cada una de las siguientes situaciones identifica las incógnitas y plantea la ecuación cuadrática correspondiente. No las resuelvas.

1. Se quiere construir un jardín cuadrado cuya área sea de 225 metros. ¿Cuánto deben medir los lados del jardín?
2. El círculo central de una cancha de fútbol debe tener un área aproximada de 263 metros. ¿Cuánto debe medir su radio?
3. Un mosaico cuadrado que tiene 81 piezas cubre un área de 7.29 metros cuadrados. ¿Cuánto miden los lados de las piezas que lo conforman?
4. A una parcela cuadrada se le ha quitado un área de 21 metros cuadrados para construir un cuarto de herramientas, quedando únicamente 100 metros cuadrados para siembra. ¿Cuánto miden los lados del cuadrado original?

Ecuaciones de la forma (x+b)²=c

Tomemos un problema un poco más interesante: Supón que hay un terreno cuadrado y que sus lados miden 9 metros. Se quiere hacer crecer los lados, de manera que el cuadrado resultante tenga un área de 144 metros cuadrados. ¿Cuánto debe hacerse crecer cada lado del cuadrado?

La ecuación asociada a este problema es:

$(9+x)^{2}=144$

Y resolverla es ligeramente más complicado que la anterior, basta obtener la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

$(9+x)^{2}=144$

$(9+x)={\sqrt {144}}$

Y una vez que nos hemos deshecho de la expresión cuadrática, el problema se transforma en una ecuación lineal:

$9+x=12$

$x=12-9$

$x=3$

Y también:

$(9+x)^{2}=144$

$(9+x)=-{\sqrt {144}}$ (Nota que aquí estamos utilizando el hecho de que $(-12)$, sin ser la raíz cuadrada de $144$ cumple que $(-12)^{2}=144$)

Obteniendo la ecuación lineal:

$9+x=-12$

$x=-12-9$

$x=-21$

Verifica que: $(9-21)^{2}=144$

Nuevamente haremos notar que $x=-21$ es solución de la ecuación pero no es solución para el problema del terreno cuadrado, pues no tiene sentido construir un cuadrado cuyos lados midan $9-21=-12$ metros.

En general, para resolver una ecuación de la forma $(x+b)^{2}=c$ será necesario obtener la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, obteniendo una ecuación lineal que tiene una única solución:

$(x+b)^{2}=c$

$x+b={\sqrt {c}}$

$x={\sqrt {c}}-b$

Ejercicios

Para cada una de las siguientes situaciones identifica las incógnitas y plantea la ecuación cuadrática correspondiente. No las resuelvas.

1. Los lados de un jardín cuadrado en una plaza pública miden 10 metros. Se quiere modificar el tamaño de los lados de manera que el área se ajuste a las necesidades de los diseñadores que van a remodelar el jardín. Si se quiere que el jardín tenga un área de 144 metros cuadrados, ¿cuántos metros debe aumentar cada lado?
2. Si se quiere que el jardín tenga un área de 81 metros cuadrados, ¿cuántos metros debe disminuir cada lado?

Ecuaciones de la forma ax²=bx

Mostraremos un ejemplo más:

Se trata de encontrar un número que cumpla que el doble de su cuadrado sea cuatro veces el número.

Primero hay que nombrar la incógnita: $x:=$el número desconocido

E identificar las condiciones que ese número debe cumplir:

$2x^{2}=4x$

Una de las soluciones del problema se ve inmediatamente:

$2x^{2}=4x$ ... se cumple cuando $x=0$ porque $2(0)^{2}=4(0)$

Para encontrar la otra solución, podemos despejar el valor de $x$ dividiendo ambos miembros de la ecuación entre $x$ y simplificando usando operaciones algebraicas básicas. Sólo habrá que hacer una importante consideración: En los números Reales no es posible dividir entre $0$. Así que al dividir entre $x$, debemos tener en consideración que el resultado obtenido con este procedimiento será válido únicamente si $x\neq 0$.

$2x=4$

$x={\frac {4}{2}}$

$x=2$

Verificamos que $x\neq 0$, pues en caso contrario habríamos dividido entre $0$, lo cual sería incorrecto y nuestra segunda solución no sería válida.

Piensa en el siguiente problema:

Se buscan dos números consecutivos, dos veces el producto de esos números debe ser diez veces el menor de los números. ¿Cuáles son los números que resuelven este problema?

Nuevamente: identifica la incógnita y las constantes del problema:

$x:=$ el menor de los números

$(x+1):=$ el consecutivo de $x$

La ecuación queda:

$2(x)(x+1)=10x$

Una de las soluciones del problema se ve inmediatamente:

$2(x)(x+1)=10x$ ... se cumple cuando $x=0$

Para encontrar la otra solución debemos desarrollar y reacomodar la ecuación:

$2(x)(x+1)=10x$

$2x(x+1)=10x$ ... primero multiplicamos $2(x)$

$2x^{2}+2x=10x$ ... y luego multiplicamos $2x$ por $(x+1)$

$2x^{2}=10x-2x$ ... restamos $2x$ en ambos miembros de la ecuación

$2x^{2}=8x$ ... y simplificamos. Ahora tenemos una ecuación de la forma $ax^{2}=bx$

$x^{2}=4x$ ... dividimos entre $2$ en ambos miembros de la ecuación

$x=4$ ... y finalmente dividimos entre $x$ verificando que $x\neq 0$

Así que esta ecuación tiene dos soluciones, y las dos soluciones son soluciones del problema original:

Primera solución:

Los números consecutivos son $x=0$ y $(x+1)=1$

Se cumple entonces que $2(0)(1)=10(0)$

Segunda solución:

Los números consecutivos son $x=4$ y $(x+1)=5$

Se cumple entonces que $2(4)(5)=10(4)$

Ya se puede ver que las ecuaciones de la forma $ax^{2}=bx$ tiene por lo general dos soluciones, y una de ellas será $x=0$

La otra solución será $x={\frac {b}{a}}$

Veamos cómo podemos probarlo:

$ax^{2}=bx$

$x^{2}={\frac {b}{a}}x$ ... dividimos entre $a$ en ambos miembros

$x={\frac {b}{a}}$ ... dividimos entre $x$ en ambos miembros, recordando que esta segunda solución no podrá ser $x=0$, y ya en este momento podremos afirmar que esta segunda solución será distinta de cero pues siempre estaremos suponiendo que $b\neq 0$ de lo contrario la ecuación sería de la forma $ax^{2}=0$ y en ese caso su única solución será $x=0$

Así que cualquier ecuación de la forma $ax^{2}=bx$ tendrá dos soluciones: $x_{1}=0$ y $x_{2}={\frac {b}{a}}$. Los subíndices en la expresión $x_{i}$ indican que se trata de la primera solución $x_{1}$ o de la segunda solución $x_{2}$.

Ejercicios

Para cada una de las siguientes situaciones identifica las incógnitas y plantea la ecuación cuadrática correspondiente. No las resuelvas.

1. La diferencia entre dos números es de 5 unidades, el producto de esos números es 7 veces el valor del más pequeño. ¿De qué números se trata?
2. El triple del cuadrado de un número equivale a 12 veces el número. ¿De qué número se trata?
3. Si al cuadrado de un número se le resta seis veces el número se obtiene el triple del número. ¿De qué número se trata?
4. En un establo hay un abrevadero formado por 24 piletas cuadradas colocadas en un arreglo de 2 por 12. El abrevadero tiene 15 metros de largo. El encargado de ir a comprar una lona para cubrir el abrevadero ha olvidado la medida de los cuadrados y no sabe de qué ancho deberá comprar la lona. ¿Qué ecuación cuadrática necesita resolver para calcular el dato que ha olvidado?

Resuelve las ecuaciones

Otras ecuaciones cuadráticas

Resolvamos un ejemplo:

Cambiar por imagen correspondiente al problema

Vamos a suponer nuevamente. Imagina que tienes un jardín rectangular cuya área es de 80 metros cuadrados y el lado largo mide 2 metros más que el lado corto.

Como lo hicimos en el caso lineal, debemos asignar nombres con significado a los lados del rectángulo, para ello usaremos la incógnita $x$ y podremos usar lo que sabemos sobre calcular el área de un rectángulo. Obtenemos así la ecuación cuadrática:

$x(x+2)=80$

Para resolver esta ecuación necesitas saber algo de álgebra básica: propiedades de las operaciones, desarrollar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones lineales.

Primero usaremos la Propiedad distributiva para desarrollar la ecuación:

$x(x+2)=80$

$x^{2}+2x=80$

Y luego usaremos lo que sabemos sobre resolver ecuaciones lineales para tratar de despejar la $x$.

Pero aquí nos encontramos con un problema: No podemos hacerlo, porque la $x$ aparece en el término $2x$ pero también aparece elevada al cuadrado en el término $x^{2}$. Y esto parece llevarnos a un callejón sin salida:

Si tratamos de despejar $x$:

$x^{2}+2x=80$

$x={\frac {80-x^{2}}{2}}$

Nos encontramos con que el valor de $x$ depende del valor de $x^{2}$, valor que evidentemente no conocemos.

Si, por otro lado, tratamos de despejar $x^{2}$:

$x^{2}+2x=80$

$x^{2}=80-2x$

$x^{2}=80-2x$

$x={\sqrt {80-2x}}$

Nos encontramos con que necesitamos obtener la raíz cuadrada de una expresión que contiene a $x$... el valor que no conocemos y que queremos calcular.

Pero entonces. ¿Cómo podemos encontrar la solución de esta ecuación?

Para lograrlo recurriremos a un sencillo truco, vale la pena recordarlo porque resultará muy importante cada vez que necesites resolver este tipo de ecuaciones, se tratará de resolver simultáneamente una suma y una multiplicación.

Trataremos de encontrar dos números, estos números deben ser tales que "uno de ellos sea dos unidades mayor que el otro" y "el producto de ambos sea 80".

Lo más simple es acomodar la información, de manera que haremos una lista de todas las parejas de números naturales que multipliquen ochenta, y en esta lista seleccionaremos la pareja en la que uno de los números sea dos unidades mayor que el otro.

Número	El número que multiplica 80
1	80
2	40
4	20
5	16
8	10

Por supuesto es necesario verificar que esta tabla es una lista de todos los números naturales cuyo producto es $80$.

Y en la tabla simplemente necesitaremos localizar aquella pareja cuya diferencia es $2$.

Este sencillo truco nos permite verificar que si $x=8$, entonces $x+2=10$ y por lo tanto $x(x+2)=80$

Ya hemos hecho la consideración de que una ecuación cuadrática puede tener hasta dos soluciones. $x=8$ es una de ellas. ¿Y la otra?, ¿existe otra?

Más adelante en esta sección explicaremos cómo usar la tabla para encontrar soluciones con números enteros, incluyendo negativos. Por ahora será suficiente observar que $x=-10$, es otra solución pues cumple con que:

$x(x+2)=80$

Verifica:

$-10([-10]+2)=$

$-10(-8)=80$

Dejaremos por un momento nuestro truco resolver simultáneamente una suma y una multiplicación para explicar por qué es tan importante.

Hacia una solución general de ecuaciones de segundo grado

Una ecuación cuadrática tiene una forma general: $ax^{2}+bx+c=0$

Hasta ahora hemos revisado muchos casos particulares, pero trataremos de ir más allá, buscando un método poderoso para resolver cualquier ecuación cuadrática. Para ello recordaremos el producto de dos binomios $(ax+b)(cx+d)$ que en general puede desarrollarse y llevarse a una expresión cuadrática con términos en $x^{2}$, $x$ y término independiente:

Desarrollemos primero el producto de binomios:

$(ax+b)(cx+d)=$

$ax(cx+d)+b(cx+d)=$ ... aplicando la propiedad distributiva

$acx^{2}+adx+bcx+bd=$ ... desarrollando los productos parciales

$acx^{2}+(ad+bc)x+bd$ ... reacomodando los términos

Esto significa que en general, de cualquier expresión de la forma $acx^{2}+(ad+bc)x+bd$ se puede obtener una factorización $(ax+b)(cx+d)$, la clave está en saber manejar los valores $a$, $b$, $c$, $d$.

¿Y para qué nos servirá esto? Pues para encontrar una fórmula que simplifique un problema cuadrático en dos problemas lineales.

Veamos:

Lo primero que haremos será notar que en la expresión $acx^{2}+(ad+bc)x+bd$, aparece un término lineal $(ad+bc)x$, cuyo coeficiente es $(ad+bc)$. Además notaremos que si multiplicamos el coeficiente cuadrático por el término independiente y aplicamos la propiedad conmutativa del producto: $(ac)(bd)=(ad)(bc)$, aparecen dos números muy importantes, que son $(ad)$ y $(bc)$.

La importancia de estos dos números es que contienen los valores $a$, $b$, $c$, $d$ que necesitamos para encontrar la factorización. Y aquí precisamente es donde el truco resolver simultáneamente una suma y una multiplicación juega un papel muy importante, pues nos permitirá factorizar una expresión de la forma $acx^{2}+(ad+bc)x+bd$ en la forma $(ax+b)(cx+d)$ y esto simplificará nuestra búsqueda de un método general para resolver ecuaciones de segundo grado. La clave es encontrar los números que sumen (ad+bc) y que multipliquen (ad)(bc).

Veamos un ejemplo.

Factorizar la expresión $6x^{2}+19x+15$:

$6x^{2}+19x+15$ ... primero identificamos el término cuadrático $6$ y el término independiente $15$ (es decir, los términos extremos de la ecuación) y multiplicamos sus coeficientes: $(6)(15)=90$

Ahora identificamos el coeficiente del término lineal $19$

Y nos concentraremos en la tarea de buscar dos números, que multipliquen 90 y sumen 19.

Usaremos para ello nuestra tabla para resolver simultáneamente una suma y una multiplicación

Número	El número que multiplica 90
1	90
2	45
3	30
6	15
9	10

Y verificamos que la tabla está completa y no hay más parejas de números que multipliquen 90.

En la tabla encontramos dos números (mágicos para nuestros propósitos):

$9*10=90$

$9+10=19$

Y estos números serán clave para hacer la factorización.

Veamos:

$6x^{2}+19x+15=$

$6x^{2}+9x+10x+15=$ ... separamos el coeficiente lineal usando los números mágicos. Este es el paso clave.

$(6x^{2}+9x)+(10x+15)=$ ... asociamos el término cuadrático con uno de los términos lineales y el otro término lineal con el término independiente

$3x(2x+3)+5(2x+3)=$ ... factorizamos términos comunes

Gracias a nuestros números mágicos, que nos permitieron separar correctamente el término lineal para asociarlo con los otros términos, hemos encontrado el factor común $(2x+3)$

$(3x+5)(2x+3)$ ... y lo usamos para factorizar aún más.

De este modo hemos encontrado que $6x^{2}+19x+15=(3x+5)(2x+3)$

Desarrolla la expresión $(3x+5)(2x+3)$ para verificarlo.

Usaremos esta factorización para resolver la ecuación:

$6x^{2}-x+20=5-20x$

Lo primero es llevar nuestra ecuación a la forma $ax^{2}+bx+c=0$

Con la finalidad de dejar $0$ en el miembro derecho de la ecuación, sumamos $20x$ y restamos $5$ en ambos miembros de la ecuación.

$6x^{2}(-x+20x)+(20-5)=(5-5)+(20x-20x)$

Que equivale a la ecuación:

$6x^{2}+19x+15=0$

Y como ya hemos visto, se factoriza en:

$(3x+5)(2x+3)=0$

Y el producto de dos factores sólo da cero cuando alguno de los factores es cero.

La solución $x_{1}$ se obtiene resolviendo una ecuación lineal:

$(3x+5)=0$

Así tenemos que: $x_{1}={\frac {-5}{3}}$

Y la solución $x_{2}$ se obtiene también resolviendo una ecuación lineal:

$(2x+3)=0$

De manera que: $x_{2}={\frac {-3}{2}}$

Verificaremos aquí que que $x_{1}={\frac {-5}{3}}$ es solución de $6x^{2}+19x+15=0$. Verificar que $x_{2}={\frac {-3}{2}}$ es también solución, queda como ejercicio para el lector.

$6({\frac {-5}{3}})^{2}+19({\frac {-5}{3}})+15=0$ ... sustituímos el valor de $x_{1}$ en la ecuación

$6({\frac {25}{9}})+19({\frac {-5}{3}})+15=0$ ... desarrollamos el cuadrado

${\frac {150}{9}}+{\frac {-95}{3}}+15=0$ ... desarrollamos las fracciones

${\frac {150}{9}}+{\frac {-285}{9}}+{\frac {135}{9}}=0$ ... encontramos denominador común

${\frac {150-285+135}{9}}=0$ ... hacemos las sumas y restas en los numeradores

${\frac {0}{9}}=0$ ... verificamos el resultado

Para saber como utilizar este truco con coeficientes positivos y negativos, visita la sección resolver simultáneamente una suma y una multiplicación

Ejercicios

Resuelve las ecuaciones por factorización: