Usuario:Testpitanormal/Gauss's lemma (number theory)

El lema de Gauss en la teoría de números da una condición para que un entero sea un residuo cuadrático . Aunque no es útil computacionalmente, tiene un significado teórico, ya que participa en algunas pruebas de reciprocidad cuadrática .

Hizo su primera aparición en la tercera prueba de Carl Friedrich Gauss (1808) ^[1] ^{: 458–462} de reciprocidad cuadrática y lo demostró nuevamente en su quinta prueba (1818). ^{: 496–501}

Declaración del lema

Para cualquier primo impar, $p$ sea $a$ un número entero coprimo a $p$ .

Considera los enteros

a,2a,3a,\dots ,{\frac {p-1}{2}}a

y sus residuos menos positivos módulo $p$ . (Estos residuos son todos distintos, por lo que hay ( $p - 1)/2$ de ellos. )

Sea $n$ el número de estos residuos que es mayor que $p /2$ . Luego

\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n},

dónde $\left({\frac {a}{p}}\right)$ Es el símbolo de Legendre .

Ejemplo

Tomando $p$ = 11 y $a$ = 7, la secuencia relevante de enteros es [[Categoría:Aritmética modular]] [[Categoría:Lemas (matemáticas)]]

↑ Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (en german) (2nd edición), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 .

[Untersuchungen-1] Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (en german) (2nd edición), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 .

[1]