Usuario:TheMafianTony/Taller

Existencia y unicidad de soluciones de PVI lineales de orden n

Podemos escribir toda ecuación diferencial de orden $n$ como un sistema de orden $1$ y dimensión $n$. Definimos $x_{i}=x^{(i-1)}$ para $i=1,\dots ,n$ de tal manera que queda la relación $x_{i}=x'_{i-1}$.

Soluciones de la EDO x'-x+t=0

Además, $x_{n}=x^{(n-1)}\Longrightarrow x'_{n}=x^{(n)}=r(t)-\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}(t)x_{i}(t).$

Escrito en forma matricial:

${\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\\\vdots \\x'_{n-1}\\x'_{n}\\\end{pmatrix}}=A(t){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\\x_{n}\\\end{pmatrix}}+b$ ,

donde $A(t)={\begin{pmatrix}0&1&0&0&\dots &0\\0&0&1&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &0&1\\-a_{0}(t)&-a_{1}(t)&-a_{2}(t)&\dots &-a_{n-2}(t)&-a_{n-1}(t)\\\end{pmatrix}}$ es una matriz de dimensiones $n\times n$, y $b={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\r(t)\\\end{pmatrix}}$ es el vector columna cuyo única componente no nula es $r(t)$.

Si expresamos $f(t,{\textbf {x}})=A(t){\textbf {x}}+b$ con ${\textbf {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}}$, el sistema se puede escribir como $x'=f(t,{\textbf {x}})$. La función $f$ es continua respecto a las dos variables.

Puesto que $f$ es una función continua en sus dos variables, para poder llegar a aplicar el Teorema de Picard-Lindelöf, faltaría comprobar que es Lipschitz respecto a $x$ (uniformemente en $t$). En lo que sigue, usaremos la norma euclídea de un vector, denotada como $\|{\textbf {v}}\|={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}v_{j}^{2}}}$, donde $v_{j}$, para $j=1,...,n$, son las componentes del vector ${\textbf {v}}$. Sean ${\textbf {x}},{\hat {\textbf {x}}}\in \mathbb {R} ^{n}$,

$\|f(t,{\hat {\textbf {x}}})-f(t,{\textbf {x}})\|=\|A(t){\hat {\textbf {x}}}-A(t){\textbf {x}}\|={\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}{\hat {x}}_{2}\\\vdots \\{\hat {x}}_{n}\\\sum _{j=1}^{n}-a_{j-1}{\hat {x}}_{j}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\sum _{j=1}^{n}-a_{j-1}x_{j}\\\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}{\hat {x}}_{2}-x_{2}\\\vdots \\{\hat {x}}_{n}-x_{n}\\\sum _{j=1}^{n}-a_{j-1}({\hat {x}}_{j}-x_{j})\\\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}$.

Sea $M=\max _{i\in [0,{n-1}],t\in [a,b]}\left\vert a_{i}(t)\right\vert$,

${\begin{aligned}{\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}{\hat {x}}_{2}-x_{2}\\\vdots \\{\hat {x}}_{n}-x_{n}\\\sum _{j=1}^{n}-a_{j-1}({\hat {x}}_{j}-x_{j})\\\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}&\leq {\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}{\hat {x}}_{2}-x_{2}\\\vdots \\{\hat {x}}_{n}-x_{n}\\0\\\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}+{\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{j=1}^{n}-a_{j-1}({\hat {x}}_{j}-x_{j})\\\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}\leq {\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}{\hat {x}}_{2}-x_{2}\\\vdots \\{\hat {x}}_{n}-x_{n}\\0\\\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}+\sum _{j=1}^{n}{\begin{Vmatrix}{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\-a_{j-1}({\hat {x}}_{j}-x_{j})\\\end{pmatrix}}\end{Vmatrix}}\\&\leq \|{\hat {\textbf {x}}}-{\textbf {x}}\|+\sum _{j=1}^{n}|a_{j-1}||{\hat {x}}_{j}-x_{j}|\leq \|{\hat {\textbf {x}}}-{\textbf {x}}\|+\sum _{j=1}^{n}M|{\hat {x}}_{j}-x_{j}|\leq (1+nM)\|{\hat {\textbf {x}}}-{\textbf {x}}\|.\end{aligned}}$

Obtenemos $\|f(t,{\hat {\textbf {x}}})-f(t,{\textbf {x}})\|\leq (1+nM)\|{\hat {\textbf {x}}}-{\textbf {x}}\|$,

por lo que $f$ tiene constante de Lipschitz $K=(1+nM)$ $\forall t\in [a,b]\subset \mathbb {R}$.

Puesto que se cumplen las hipótesis del Teorema de Picard-Lindelöf, queda demostrado que hay una única solución ${\textbf {x}}$ del sistema con datos iniciales $x_{i}(t_{0})=\xi _{i}$, $i=1,\dots ,n$, dados en un punto $t_{0}\in [a,b]$.

Si ${\textbf {x}}\in C^{1}([a,b];\mathbb {R} ^{n})$, entonces:

${\begin{aligned}&x_{n-1}'&&=x_{n}\in C^{1}([a,b];\mathbb {R} ),&&{\text{ y por tanto }}x_{n-1}\in C^{2}([a,b];\mathbb {R} ),\\&x_{n-2}'&&=x_{n-1}\in C^{2}([a,b];\mathbb {R} ),&&{\text{ y por tanto }}x_{n-2}\in C^{2}([a,b];\mathbb {R} ),\\&&&\;\;\vdots &&\\&x_{1}'&&=x_{2}\in C^{n-1}([a,b];\mathbb {R} ),&&{\text{ y por tanto }}x_{1}\in C^{n}([a,b];\mathbb {R} ).\end{aligned}}$

Por otra parte,

$x_{1}^{(n)}(t)=x_{2}^{(n-1)}(t)=\cdots =x_{n}'(t)=r(t)-\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}(t)x_{i}(t)=r(t)-\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}(t)x_{1}^{(i-1)}(t);$ es decir $x_{1}^{(n)}(t)+\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}(t)x_{1}^{(i-1)}(t)=r(t),$ luego $x_{1}$ es solución de la ecuación. Además, $x_{1}^{i}(t_{0})=\xi _{i+1}$, $i=0,\dots ,n-1$, y por tanto $x_{1}$ es la solución (única) del problema de valor inicial con datos $x^{i}(t_{0})=\xi _{i+1}$, $i=0,\dots ,n-1$ para la ecuación diferencial lineal.

Ejemplo

Sea el problema de valores iniciales:

${\begin{cases}x^{(4)}+3x''-\sin(t)x'+8x=t^{2},\\x(0)=0,x'(0)=2,x''(0)=3,x'''(0)=4.\end{cases}}$

Vamos a transformarlo en un sistema de ecuaciones:

${\begin{cases}x_{1}=x\,\Longrightarrow \ x'_{1}=x'=x_{2},\\x_{2}=x'\Longrightarrow x'_{2}=x''=x_{3},\\x_{3}=x''\Longrightarrow x'_{3}=x'''=x_{4},\\x_{4}=x'''\Longrightarrow x'_{4}=x^{(4)}=-8x+\sin(t)x'-3x''+t^{2}=-8x_{1}+\sin(t)x_{2}-3x_{3}+t^{2},\end{cases}}$

con condiciones iniciales: $x_{1}(0)=1,\ x_{2}(0)=2,\ x_{3}(0)=3\,x_{4}(0)=4.$

Sea ${\textbf {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}},$ podemos escribir el sistema como:

${\textbf {x}}'=A{\textbf {x}}+b$ , donde A es la matriz $A={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-8&\sin(t)&-3&0\end{pmatrix}}$, b es el vector vector $b={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\t^{2}\end{pmatrix}}$ y las condiciones iniciales son ${\textbf {x}}(0)={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}}$.

Ahora, aplicando el método anteriormente descrito:

Sea $M=\max _{i\in [0,{n-1}]t\in [a,b]}\left\vert a_{i}(t)\right\vert =8$.

En este caso:

$\|f(t,{\hat {\textbf {x}}})-f(t,{\textbf {x}})\|=\|A(t){\hat {\textbf {x}}}-A(t){\textbf {x}}\|\;\leq 33\|{\hat {\textbf {x}}}-{\textbf {x}}\|$ por lo que hay unicidad y existencia de soluciones para dicho PVI.

Borrador versión 6, por Daniel Ríos Palencia, Asier Fernández Arrazola, Wen Jie Guo Zhou y Lucía Ulecia Rivas.