Usuario:Vivero/esbozos3

---

Muy preliminar. Todavía tiene bastantes errores, y datos no suficientemente contrastados

---

Fig. 1: A se mueve en línea recta (en la dirección de la flecha roja) y arrastra a P. La curva descrita por P es la tractriz

Fig. 2: La tractriz con a=1

Fig. 3: Variables y parámetros de la tractriz

Se denomina tractriz a la curva que describe un objeto que es arrastrado por otro que se mantiene a distancia constante y que se desplaza en línea recta.

Puede visualizarse con más claridad haciendo lo que se atribuye a Claude Perrault, cuando propuso el problema de la tractriz a Leibniz: poner un reloj de bolsillo con cadena sobre una mesa, de modo que la cadena esté tensa, y el extremo contrario al reloj esté en el borde de la mesa. Mover entonces ese extremo siguiendo el borde de la mesa, para asegurar que se traslade en línea recta. La curva que describe el reloj situado en el extremo opuesto es la tractriz. En la figura 1, A representa el extremo de la cadena que arrastramos por el borde de la mesa, y P el reloj que dejamos moverse libremente. Un objeto rígido, como un bastón, sería por supuesto más adecuado que la cadena de reloj impuesta por la anécdota de Perrault y Leibniz.

Una característica esencial de la tractriz es el hecho de que en cada punto su tangente coincide con la recta ${\overline {AP}}$. La cadena del reloj es siempre tangente a la trayectoria del reloj. Este hecho hace que a veces se denomine a la tractriz curva equitangencial, para indicar que el segmento de recta tangente entre la curva y el eje X es de longitud constante.

Otra imagen intuitiva es la de una persona que conduce a su perro sujeto con la habitual cadena o correa. Si el amo (punto A) corre en línea recta y el perro (punto P) se deja llevar, el animal describirá una tractriz. Esta imagen ha hecho que a veces se hable de curva del perro (Hundekurve en alemán). Hay sin embargo otras "curvas del perro", que aluden a persecuciones, más que a arrastres: la concoide de Nicomedes y las curvas de persecución, de las que la tractriz es un caso particular, son curvas del perro.

Salvo indicación en contrario, se utilizará en lo que sigue la nomenclatura de la figura 3 para presentar y deducir las ecuaciones de la tractriz. Los puntos sobre la curva serán llamados $P\,$, y sus coordenadas $(x,y)\,$. El punto que "arrastra" a $P\,$ se supondrá situado sobre el eje $X\,$, y se le llamará $A\,$. Se representará como $a\,$ la distancia, por definición constante, entre $A\,$ y $P\,$ (la longitud de la cadena del reloj o de la correa del perro).

La tractriz puede representarse en ecuaciones paramétricas de dos formas distintas, utilizando en un caso funciones trigonométricas:

$x=\pm a(\log \tan {\frac {\omega }{2}}+\cos \omega )$

$y=a\sin \omega \,$

Y en otro funciones hiperbólicas:

$x=\pm a(t-tanh(t))\,$

$y={\frac {a}{\cosh(t)}}\,$

En uno de los apartados de este artículo se deducen estas ecuaciones a partir de la definición de tractriz

La evoluta de la tractriz es la catenaria.

La tractriz es un caso particular de la curva de persecución, dado cuando las velocidades de perseguido y perseguidor coinciden, y el perseguidor parte de la perpendicular a la trayectoria del perseguido.

Historia

Claude Perrault, arquitecto de El Louvre, hermano del cuentista Charles Perrault, y promotor del problema de la tractriz

Hacia 1670, el médico y arquitecto francés Claude Perrault abordó a Leibniz en París, y le planteo el problema de la tractriz. Se dice que puso sobre la mesa su reloj de bolsillo, lo arrastró con la cadena procurando que su extremo se moviera sobre una línea recta, y preguntó a Leibniz por la curva descrita por el reloj. Posiblemente no era la primera vez que Perrault preguntaba esto a un matemático, pero hasta entonces no había obtenido respuesta.

Deducción de la ecuación de la tractriz

Ecuación diferencial de la tractriz

Fig. 3: Variables y parámetros de la tractriz

Se parte de las siguientes propiedades:

1. Para todo punto $P\,$ de la tractriz, la recta ${\overline {AP}}\,$ es tangente a la tractriz en $P\,$.
2. La distancia entre el punto $A=(x_{A},0)\,$ y el punto $P=(x,y)\,$ es constante e igual a $a\,$.
3. El punto $P_{o}=(0,a)\,$ está en la tractriz (a veces se le llama cúspide).

Sea $f\,$ la función tractriz, y para cada $x\in \mathbb {R} \,$ sea $y=f(x)\,$.
La ecuación de ${\overline {AP}}\,$ es la de una recta que pasa por los puntos $P=(x,y)\,$ y $A=(x_{A},0)\,$:

$y-0=m(x-x_{A})\,$

Siendo $m\,$ la pendiente, o lo que es equivalente, la derivada de $f\,$ en $x\,$:

$y=f'(x)(x-x_{A})\,$

Por el teorema de Pitágoras, $x_{A}=x\mp {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\,$ (signo $-\,$ si $A\,$ se mueve en sentido positivo, como en la figura, y signo $+\,$ si lo hace en sentido negativo)

$y=\mp f'(x){\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\,$

Por tanto la función tractriz $f\,$ será la que resuelva esa ecuación diferencial, y cumpla la condición inicial $f(0)=a\,$:

${\frac {dy}{dx}}=\mp {\frac {y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}$. O bien, separando variables,

$dx=\mp {\frac {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}{y}}dy$

$x=\mp \int {\frac {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}{y}}dy\,$

Solución con funciones trigonométricas

Haciendo el cambio de variable $y=a\sin \omega \,$ (obsérvese que $\omega$ es el ángulo entre la recta ${\overline {AP}}\,$ y el eje de abscisas)

$x=\mp a\int {\frac {\,\cos ^{2}\omega }{\sin \omega }}d\omega =\mp a[\int {\frac {d\omega }{\sin \omega }}-\int \sin \omega d\omega ]\,$

La segunda integral es inmediata, dado que ${\frac {d}{d\omega }}\cos \omega =-\sin \omega \,$. La primera es frecuente en las tablas de integrales, pero también puede resolverse aplicando primero la relación trigonométrica $\sin \omega =2\sin {\frac {\omega }{2}}\cos {\frac {\omega }{2}}$, multiplicando luego numerador y denominador por $\cos {\frac {\omega }{2}},$, y aprovechando finalmente que ${\frac {d}{d\omega }}\tan \omega ={\frac {1}{\cos ^{2}{\omega }}}$.

$x=\mp a[\int {\frac {\frac {d\omega }{2\cos ^{2}{\frac {\omega }{2}}}}{\tan {\frac {\omega }{2}}}}-\int \sin \omega d\omega ]=a[\ln({\tan {\frac {\omega }{2}}})+\cos \omega ]+C\,$

Pero la condición inicial de $y=a\,$ para $x=0\,$ (para $\omega ={\frac {\pi }{2}}\,$) permite deducir que la constante de integración es $C=0\,$

$x=\pm a[\ln({\tan {\frac {\omega }{2}}})+\cos \omega ]$

$y=a\sin \omega \,$

Solución con funciones hiperbólicas

Haciendo el cambio de variable

$y=a\,\operatorname {sech} \,t={\frac {a}{\cosh t}}\,$

Y derivando:

$dy={\frac {-a\sinh t}{\cosh ^{2}t}}dt$

Por tanto:

$x=\mp \int {\frac {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}{y}}dy=\mp \int ({\frac {\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{\cosh ^{2}t}}}}{\frac {a}{\cosh t}}})\cdot ({\frac {-a\sinh t}{\cosh ^{2}t}})dt=\,...\,=\mp \int a\tanh ^{2}tdt\,$

(se han utilizado relaciones como $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,$ y ${\frac {\sinh t}{\cosh t}}=\tanh t\,$)

Para integrar $\tanh ^{2}t\,$ basta con tener en cuenta que:

$\tanh ^{2}t={\frac {\sinh ^{2}t}{\cosh ^{2}t}}={\frac {\cosh ^{2}t-1}{\cosh ^{2}t}}=1-{\frac {1}{\cosh ^{2}t}}=1-\operatorname {sech} ^{2}\,t\,$

Pero ${\frac {d}{dt}}\tanh t=\operatorname {sech} ^{2}\,t\,$, así que:

$x=\pm a\int \tanh ^{2}tdt=\pm a\int ({1-\operatorname {sech} ^{2}\,t})dt=\pm a\int ({1-{\frac {d}{dt}}\tanh t})dt=\pm a(t-\tanh t)+C\,$

Dado que $x\,$ ha de ser nula para $y=a\,$, y que $y=a\,$ sólo si ${\frac {1}{\cosh t}}=1\,$, la condición inicial equivale a $t=0\,$ y por tanto a $x=\mp \tanh 0+C=0\,$. De modo que $C=0\,$, dada la condición inicial de que la curva pase por $(0,a)\,$. Por tanto las ecuaciones paramétricas de la tractriz son:

$x=\pm a(t-\tanh t)\,$

$y=a\,\operatorname {sech} \,t\,$

La interpretación geométrica del parámetro $t\,$ puede obtenerse observando que

$x_{A}=x\mp {\sqrt {a^{2}+y^{2}}}=\mp a(t-\tanh t)\mp a{\sqrt {1-{\frac {1}{\cosh ^{2}t}}}}=\,...\,=\mp a(t-\tanh t+\tanh t)=\mp at$

De modo que $t=\mp {\frac {x_{A}}{a}}\,$. Representa la distancia ${\overline {OA}}\,$ sobre el eje $X\,$ o, de forma equivalente, el valor de $x_{A}$, medido con $a\,$ como unidad.

Véase también

• Curva de persecución

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre tractiz.
• Epsilones - programa para generar la tractriz o "curva del perro"