Valoración (matemáticas)
En matemáticas, más particularmente en geometría algebraica y en teoría de números, una valoración, o valoración de Krull, es una medida de multiplicidad. La noción es una generalización de la noción de grado u orden de cancelación de un anillo de polinomios en álgebra, del grado de divisibilidad por un número primo en teoría de números, del orden de un polo en análisis complejo o del número de puntos de contacto entre dos variedades algebraicas en geometría algebraica.
Definición[editar]
Se denomina valoración a una aplicación de un anillo conmutativo unitario distinto de cero a un grupo abeliano totalmente ordenado y su unión con el infinito
que verifica las siguientes propiedades:
- ;
- ;
- , propiedad que está conectada a la desigualdad triangular en espacios métricos.
Notas:
- Se utilizan las convenciones clásicas y para todos los .
- Algunos autores se limitan a realizar evaluaciones en un cuerpo.
- Si A es un cuerpo o no, v es un morfismo de monoides de (A *, ×) en (G, +).
- Cuando A es un cuerpo, v es, por lo tanto, un homomorfismo de grupos de (A*, ×) en (G, +), de modo que v(A*) es un subgrupo de G.
- Cuando A es un cuerpo, a veces se exige que v sea sobreyectiva, pero siempre se puede volver a esta situación reemplazando G por v(AT*).
Se dice que dos valoraciones v y v' en A son equivalentes si hay un isomorfismo de semigrupos ordenados
Valoraciones discretas[editar]
Cuando el grupo G es ℤ, v se denomina valoración de Dedekind o valoración discreta. Dos valoraciones discretas v y v' sobre A son equivalentes si y solamente si son proporcionales, es decir, si existe un número racional k no nulo tal que
Las clases de equivalencia de valoraciones discretas en un anillo se denominan sus lugares.
Valoración trivial[editar]
La valoración
se llama valoración trivial.
Propiedades[editar]
Propiedades generales[editar]
Sea A un anillo conmutativo unitario distinto de cero provisto de una valoración v. Entonces:
- ;
- ;
- ;
- A es un dominio de integridad;
- existe una única valoración w en un cuerpo de fracciones Frac(A) que amplía v:
- .
Valoraciones discretas sobre el cuerpo de los racionales[editar]
Los lugares de ℚ, es decir, las valoraciones discretas de ℚ (sin considerar un factor de proporcionalidad), son los de:
- valoración trivial;
- las valoraciones p-ádicas.
Valor absoluto asociado[editar]
Sea v una valoración de A con valores reales, y ρ ∈ ]0, 1[. Se asocia con v un valor absoluto ultramétrico (la noción de valor absoluto generalmente se define en un campo, pero perfectamente definible en cualquier anillo, y siempre induce una distancia en su conjunto subyacente; véase más adelante) expresado como | ∙ |v; y tal que
- .
La distancia asociada a este valor absoluto () hace que A sea un anillo topológico que incluye la topología derivada de un espacio ultramétrico.
Si A es un cuerpo, entonces es un cuerpo valorado, por lo que su anillo completado (para ) es un cuerpo valorado completo. Por la prolongación de las desigualdades, el valor absoluto de este anillo completado sigue siendo ultramétrico. Por ejemplo, los cuerpos ℚp y k((T)) pueden obtenerse mediante esta construcción.
Ejemplos[editar]
Las siguientes aplicaciones son valoraciones:
Orden de cancelación de un polinomio[editar]
Sea K un campo conmutativo, K[X] el anillo de los polinomios con coeficientes en K y a un elemento de K. Se define la aplicación «orden de cancelación en a»:
que con un polinomio distinto de cero P asocia el orden de multiplicidad de la raíz a en P (orden que es igual a 0 si a no es raíz, y el infinito si P es cero).
Si P es distinto de cero, va(P) es igual al grado del menor monomio distinto de cero de P(a + X).
Nota: Si a pertenece a una extensión L de K (por ejemplo, en el cierre algebraico de K), la valoración va en L[X] está restringida a una valoración sobre K[X].
Orden de cancelación de una fracción racional[editar]
Sea K un campo conmutativo, K(X) el campo de las fracciones racionales con coeficientes en K y a un elemento de K. Se define la aplicación
que asocia a una fracción racional la diferencia de las órdenes de cancelación del numerador y del denominador en a. Si v(R) es positivo, es el orden de cancelación de R sobre a, si v(R) es estrictamente negativo, es el orden del polo de R en a.
Opuesto al grado de un polinomio[editar]
Sea K un campo conmutativo y K[X] el anillo de polinomios con coeficientes en K. Se define la aplicación
que a un polinomio P asocia el opuesto de su grado, con la convención de que el grado del polinomio cero es (-∞).
Orden de una serie de Laurent[editar]
En el cuerpo k((T)) de series formales de Laurent en un campo conmutativo k, se tiene una valoración asociando cualquier serie de Laurent con su orden.
Orden de una función meromórfica[editar]
Si U es un conjunto abierto conexo no vacío del cuerpo de los números complejos; y si A es un punto de U, se tiene una valoración en el cuerpo de funciones meromorfas en U por asociar a cualquier función meromorfa su orden en el punto A.
Valoración p-ádica[editar]
Dado el número primo p, se define la aplicación
que a un entero n le asocia el exponente de p en la descomposición de n en factores primos, con la convención de que vp(0) = ∞. La aplicación vp se denomina valoración p-ádica en ℤ y se extiende sobre el campo de fracciones Es falso
Anillo de clasificación[editar]
Sea K un cuerpo conmutativo dotado de una valoración v. Los elementos de K de valoración positiva o cero constituyen un subanillo R llamado el anillo de valoración asociado con la valoración v sobre K:
El cuerpo de fracciones de R es K.
Se tiene que v(1/x) = -v(x) para cualquier elemento distinto de cero x de K, y por lo tanto x es un elemento invertible de R si y solo si v(x) = 0. En consecuencia, R es un anillo local cuyo único ideal máximo M consiste en los elementos de valoración estrictamente positiva:
Por ejemplo (para las valoraciones habituales en estos cuerpos) el anillo de valoración de ℚp es ℤp y el de k((T)) (donde k denota un campo conmutativo) es k[[T]]. Estos dos ejemplos también son anillos de valoración discreta.
Hay varias caracterizaciones de los anillos de valoración:[1]
|
Dos valoraciones v y v' sobre K son equivalentes si y solo si tienen el mismo anillo de valoración.[2]
Para cualquier campo k y cualquier grupo abeliano completamente ordenado G, existe un campo valorado (K, v) cuyo grupo de valoración es G y cuyo cuerpo residual R/M es k.[3]
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Nicolas Bourbaki. Algèbre commutative. p. VI.1.2..
- ↑ Bourbaki AC,, p. VI.3.2
- ↑ Bourbaki AC,, p. VI.3.4
Enlaces externos[editar]
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