Cadena de Ehrenfest

Simulación de una Cadena de Ehrenfest con 20 bolas, distribución inicial 10-10 y 50 pasos.

La cadena de Ehrenfest, llamada así en honor al físico y matemático austriaco Paul Ehrenfest, es una cadena de Márkov en tiempo discreto usada para modelar el intercambio de moléculas de gas entre dos urnas.

Supongamos que tenemos dos urnas, $C_{1}$ y $C_{2}$. En ellas están distribuidas d bolas numeradas; en cada paso, se elige un número al azar entre {1,2,...,d}. A continuación se observa en qué urna está la bola con el número elegido y se cambia de urna.

Modelo

Sea $X_{n}$ la variable aleatoria que denota el número de bolas contenidas en la urna $C_{1}$ al tiempo n. El espacio de estados será entonces E={0,1,2,...,d} y la matriz de transición estará dada por:

$P_{x,y}={\begin{cases}x/d&{\mbox{si }}x>0,y=x-1\\(d-x)/d&{\mbox{si }}x<d,y=x+1\\0&{\mbox{en otro caso }}\end{cases}}$

Propiedades

Para la cadena de Ehrenfest:

• La cadena es irreducible.
• Todos sus estados son recurrentes.
• La cadena es positivo-recurrente (pues todos sus estados lo son).

Como consecuencia de las anteriores propiedades, resulta que la cadena tiene un único vector de probabilidad invariante para su matriz de transición y está dado por:

$\nu ={1 \over {2^{d}}}\left({\binom {d}{0}},{\binom {d}{1}},...,{\binom {d}{d}}\right)$

Referencias

Bibliografía

• M.E. Caballero et ál, Cadenas de markov: un enfoque elemental, 2ª edición, aportaciones matemáticas, pp. 164.

• Datos: Q5738909