En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en términos de su gradiente
donde «» denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por en dicho punto.
La derivada direccional te dice cómo cambia una función en la dirección de un vector , en relación al gradiente de dicha función
Definición solo en la dirección de un vector[editar]
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de por unidad de distancia.
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable. La derivada direccional según la dirección de un vector unitario es:
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cual lleva, por ser diferenciable la función[1] f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector :
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones y definidas en la vecindad de un punto , donde son diferenciables:
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de en , del tipo
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación
es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.