Desigualdad de Minkowski

En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski establece que los espacios L^p son espacios vectoriales con una norma. Sea $S$ un espacio medible, sea $1\leq p\leq \infty$ y sean $f$ y $g$ elementos de $L^{p}(S)$. Entonces $f+g$ es de $L^{p}(S)$, y se tiene

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

con la igualdad para el caso $1<p<\infty$ si y sólo si $f$ y $g$ son positivamente linealmente dependientes (lo que significa que $f=\lambda g$ o $g=\lambda f$ para alguna $\lambda \geq 0$).

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en $L^{p}(S)$.

Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

para todos los números reales (o complejos) $x_{1},\dots ,x_{n},~y_{1},\dots ,y_{n}$ y donde $n$ es el cardinal de $S$ (el número de elementos de $S$).

Demostración

Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen. Esto se sigue de que

$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})$

En efecto, usando el hecho de que $h(x)=x^{p}$ es una función convexa sobre $\mathbb {R} ^{+}$ (para $p$ mayor que 1) y, por tanto, que, si a y b son ambos positivos, entonces

$\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}$

tenemos que

$(a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}$

Ahora, se puede hablar legítimamente de $(\|f+g\|_{p})$ . Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. Podemos suponer, pues, que $(\|f+g\|_{p})$ no es cero. Usando la desigualdad de Hölder,

$\|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu$

$\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

$=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

${\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}$

$=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}$

De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por ${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}$. $\quad \square$

Referencias

• Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library (1952a ed. edición). Cambridge: Cambridge University Press. p. xii+324. ISBN 0-521-35880-9. 
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104