Discusión:Doble producto vectorial

No se que se intenta representar por a^b^c en la imagen, si lo que se intenta representar es el volumen dctores es el producto mixto de esos 3 vectores que es el producto escalar de un vector por el vector producto vectorial de los otros dos.

--Manuel 91 (discusión) 12:06 13 ene 2010 (UTC)

Este producto no es el triple producto vectorial, es el doble producto vectorial.

Demostracion

Como se puede demostrar el doble producto vectorial? Deberia aparecer en la definicion, alguien sabe?

Respuesta

Qué tal, yo encontré la siguiente demostración:
Dado el doble producto vectorial $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}$, voy a determinar la expresión del mismo en función de los vectores a, b y c. El vector resultante será perpendicular, simultáneamente, al vector c y al vector ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$, o sea, será paralelo al plano (a,b). Se demuestra gráficamente dibujando un plano formado por los vectores directores a y b en el espacio y tomando un vector normal al mismo que es, justamente, ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$. Entonces, para todo vector c, $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}$ estará contenido en el plano (a,b).
Entonces, planteamos $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=x.{\vec {a}}+y.{\vec {b}}\quad x,y\in \mathbb {R} \quad (1)$
Para facilitar la demostración, suponemos primero que ${\vec {a}}\bot {\vec {b}}$ (luego la demostración será llevada al caso general). Ahora multiplicamos (1) escalarmente por el vector a.

$[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}]\cdot {\vec {a}}=(x.{\vec {a}}+y.{\vec {b}})\cdot {\vec {a}}$

En el primer miembro podemos considerar un producto mixto entre los vectores ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$, c y a. Si tenemos en cuenta que los productos mixtos son determinantes (véase, si no, Cálculo del producto mixto), sabemos que estos últimos (los determinantes) poseen la particularidad de que, permutando una vez sus filas, su valor es el opuesto. Entonces, si permutamos dos veces las filas, el valor es el mismo, y por lo tanto:

$[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}]\cdot {\vec {a}}=[{\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})]\cdot {\vec {c}}$ (ver abajo el apartado I)

Esto permite reemplazar en (1) el primer miembro:

$[{\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})]\cdot {\vec {c}}=(x.{\vec {a}}+y.{\vec {b}})\cdot {\vec {a}}$

El producto escalar es distributivo respecto a la suma:

$[{\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})]\cdot {\vec {c}}=x.{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+y.{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$

Pero dijimos que ${\vec {a}}\bot {\vec {b}}$, entonces b.a = 0 (por propiedad de vectores ortogonales). Además, es ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}$ (ver norma o módulo de un vector), y queda:

$[{\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})]\cdot {\vec {c}}=x|{\vec {a}}|^{2}\quad (2)$

La expresión ${\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ es un vector opuesto a b, ya que el producto vectorial resulta en un vector simultáneamente perpendicular a los otros dos, y en este caso es un vector perpendicular a a y a ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$, este último, a su vez, es un vector simultáneamente perpendicular a a y a b. El único vector que cumple con esas condiciones es el vector cuyo sentido es contrario a b. Entonces, el módulo de este término es:

$|{\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})|=|{\vec {a}}|.|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|.\operatorname {sen} {90}^{o}=$ (todo vector es perpendicular a su producto vectorial por definición)

$=|{\vec {a}}|.|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|.1=|{\vec {a}}|.|{\vec {a}}|.|{\vec {b}}|.\operatorname {sen} {90}^{o}$ (recordemos que a es perpendicular a b)

$\therefore |{\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})|=|{\vec {a}}|^{2}.|{\vec {b}}|$

Ya tenemos la norma. La dirección está dada por el opuesto de b, que tiene misma dirección pero sentido contrario, por lo tanto:

${\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=-|{\vec {a}}|^{2}.{\vec {b}}\quad (3)$

Sólo resta multiplicar escalarmente (3) por el vector c para poder igualarlo a (2):

$[{\vec {a}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})]\cdot {\vec {c}}=-|{\vec {a}}|^{2}.{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

$-|{\vec {a}}|^{2}.{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=x|{\vec {a}}|^{2}\rightarrow x=-{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

Para averiguar y, se multiplica (1) escalarmente por b y se sigue un procedimiento similar de donde se deduce que:

$y={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$

Es, por lo tanto, la fórmula de doble producto vectorial, siendo a paralelo a b:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=(-{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}\quad (*)$

Fórmula general

Si a y b no son perpendiculares, se puede descomponer a b en una componente paralela y otra perpendicular a a:

${\vec {b}}={\vec {b}}'+k{\vec {a}}\quad k\in \mathbb {R} \land {\vec {b}}'\bot {\vec {a}}$ (ver Descomposiciones de un vector)

Reemplazo b en el primer miembro de (*) y obtengo:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=[{\vec {a}}\times ({\vec {b}}'+k{\vec {a}})]\times {\vec {c}}=[{\vec {a}}\times {\vec {b}}'+{\vec {a}}\times k{\vec {a}}]\times {\vec {c}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}')\times {\vec {c}}$

que es de la misma forma que (*), entonces puedo desarrollarlo así:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}}')\times {\vec {c}}=(-{\vec {b}}'\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}'$

A su vez, como ${\vec {b}}={\vec {b}}'+k{\vec {a}}$ entonces ${\vec {b}}'={\vec {b}}-k{\vec {a}}$ y queda:

$(-{\vec {b}}'\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}'=[-({\vec {b}}-k{\vec {a}})\cdot {\vec {c}}]{\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {b}}-k{\vec {a}})$

El producto escalar es distributivo, por lo tanto:

$[-({\vec {b}}-k{\vec {a}})\cdot {\vec {c}}]{\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {b}}-k{\vec {a}})=[-{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}-k{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}]{\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})k{\vec {a}}=$

$=(-{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+(k{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})k{\vec {a}}=(-{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}$ (ver el apartado II)

$\therefore ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=(-{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}$

Que es la fórmula general y vale para cualquiera sean los vectores a, b y c.--186.108.79.126 (discusión) 20:11 24 may 2013 (UTC)

Algunas aclaraciones

I) Sean u, v y w vectores en el espacio, se cumple que: $({\vec {u}}\times {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=({\vec {w}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}$

Demostración
Desarrollemos el determinante correspondiente en el segundo miembro:

$({\vec {w}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}={\begin{vmatrix}w_{x}&w_{y}&w_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}$

Si se efectúan dos permutaciones entre filas, podemos llegar al determinante del primer miembro fácilmente:

${\begin{vmatrix}w_{x}&w_{y}&w_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{vmatrix}}=({\vec {u}}\times {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}$

Q.E.D.

II) Sean u y v dos vectores en el espacio y k una constante real, se cumple que: $(k{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {u}}=({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})k{\vec {u}}$

Demostración
Desarrollaré el segundo miembro de la igualdad para demostrar que es idéntico al primero. Basta expresar a los vectores con sus componentes genéricas y efectuar los productos:

$({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})k{\vec {u}}=[(u_{x},u_{y},u_{z})\cdot (v_{x},v_{y},v_{z})]k(u_{x},u_{y},u_{z})=(u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z})k(u_{x},u_{y},u_{z})$

k y la suma dentro del primer paréntesis son números reales y pueden multiplicarse de la siguiente manera:

$(u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z})k(u_{x},u_{y},u_{z})=(ku_{x}v_{x}+ku_{y}v_{y}+ku_{z}v_{z})(u_{x},u_{y},u_{z})$

Expresión que, agrupada de manera conveniente, queda:

$(ku_{x}v_{x}+ku_{y}v_{y}+ku_{z}v_{z})(u_{x},u_{y},u_{z})=[(ku_{x})v_{x}+(ku_{y})v_{y}+(ku_{z})v_{z}](u_{x},u_{y},u_{z})$

Esta última expresión entre corchetes es equivalente al producto escalar entre los vectores ku y v:

$[(ku_{x})v_{x}+(ku_{y})v_{y}+(ku_{z})v_{z}](u_{x},u_{y},u_{z})=[(ku_{x},ku_{y},ku_{z})\cdot (v_{x},v_{y},v_{z})](u_{x},u_{y},u_{z})=$

$=[k(u_{x},u_{y},u_{z})\cdot (v_{x},v_{y},v_{z})](u_{x},u_{y},u_{z})=(k{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {u}}$
Q.E.D.

--186.108.79.126 (discusión) 20:12 24 may 2013 (UTC)

Triple producto

Este artículo debería ser enlazado en uno solo que diga Triple producto junto con Triple producto escalar. Ceancata (discusión) 13:31 11 jun 2013 (UTC)