Discusión:Rotacional

Si el rot(F)=0 en un punto significa que no hay rotaciones en ese punto, es decir no tiene remolinos. Mientras que si el rot(F)=0 para todo punto del dominio, el campo se llama irrotacional.

Fuerzas conservativas.

F es conservativa sii rotF=0, ¿no?

No, en general no es cierto. Sólo vale "${\vec {F}}$ conservativo $\rightarrow \,{\vec {F}}$ es irrotacional". La recíproca no vale ya que se pueden encontrar contraejemplo: ${\vec {F}}(x,y,z)=({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},0)$. Que es irrotacional pero no es conservativo.

No obstante en condiciones más restrictivas, pidiendo que el dominio de ${\vec {F}}$ sea simplemente conexo, la recíproca vale en general. La razón es que los campos son conservativos globalmente (si demostramos que es gradiente de un campo escalar), en cambio el rotor nos da información local (alrededor de un punto), pero nada nos asegura de lo que pasa en todo el dominio de ${\vec {F}}$. La condición de conexidad nos asegura cierta "regularidad" en el dominio, que nos permite afirmar que si un campo es irrotacional es conservativo. En otras palabras, de algún modo nos asegura que las propiedades locales las podemos extender a todo el dominio.

Intuitivamente esto tiene que ver con el hecho que para campos conservativos, las circulaciones (integrales de línea a lo largo de caminos cerrados) son nulas. Entonces si deformamos una curva cerrada en otra también cerrada, el valor de la circulación no cambia, sigue siendo nulo. En particular, cualquier camino cerrado lo podemos deformar con continuidad a una curva que sea un sólo punto, para el cual claramente la integral de línea es nula. Si el dominio no es simplemente conexo(tiene agujeros) ya no podremos deformar la curva con la misma libertad que antes: si rodeamos el con la curva cerrada un agujero, entonces nunca podremos llegar a deformarla a la curva que sólo un punto ya que no podemos pasar por el agujero; si no lo rodeamos jamás podremos llegar a la anterior curva. Esto nos define clases de equivalencia para curvas y se dice que dos curvas son equivalentes si deformando con continuidad una de ellas, podemos llegar a la otra. Las clases de equivalencia se llaman clases de homotopía. Claramente, si las curvas no son equivalentes significa que según por donde pase la curva pasan cosas distintas y las propiedades de ${\vec {F}}$ no van a ser las mismas en todo su dominio. Por eso sólo podemos hablar de campos localmente conservativos cuando el dominio no es simplemente conexo: no podemos extender las propiedades a todo punto del dominio de ${\vec {F}}$.

Tercera y cuarta ley de Maxwell

En el último párrafo pone que el rotacional del campo eléctrico es igual al ritmo de cambio del flujo magnético, y creo que no es así. La circulación eléctrica es igual al ritmo de cambio del flujo magnético, pero no el rotacional. El rotacional de ${\vec {E}}$ es igual a $-{\frac {\vec {dB}}{dt}}$. Análogamente para el rotacional del campo magnético, este es igual a ${\vec {j}}+{\frac {\vec {dE}}{dt}}$, no $I+{\frac {d\Phi _{E}}{dt}}$.

circulacion de E y B, iguales a la derivada del flujo:

$\oint {\vec {E}}{\vec {dl}}={\frac {d}{dt}}\int {\vec {B}}{\vec {dA}}$

$\oint {\vec {B}}{\vec {dl}}=I+{\frac {d}{dt}}\int {\vec {E}}{\vec {dA}}$

rotacional de E y B, igual a derivada de B y E, respectivamente:

$rot({\vec {E}})=-{\frac {\vec {dB}}{dt}}$

$rot({\vec {B}})={\vec {j}}+{\frac {\vec {dE}}{dt}}$

Am I right?