Ecuación de Abel
La ecuación de Abel, llamada así por Niels Henrik Abel, es un tipo de ecuación funcional que se puede escribir en la forma
o equivalente,
y controla la iteración de f.
Equivalencia[editar]
Estas ecuaciones son equivalentes. Suponiendo que α es una función invertible, la segunda ecuación se puede escribir como
Tomando x = α−1(y), la ecuación se puede escribir como
Para una función f(x) supone que se conoce, la tarea es resolver la ecuación funcional de la función α−1≡h, que posiblemente cumpla con requisitos adicionales, como α−1(0) = 1.
El cambio de las variables sα(x) = Ψ(x), para un parámetro real s, lleva la ecuación de Abel a la celebrada ecuación de Schröder, Ψ(f(x)) = s Ψ(x).
El cambio adicional F(x) = exp(sα(x)) en la ecuación de Böttcher, F(f(x)) = F(x)s.
La ecuación de Abel es un caso especial de (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traducción,[1]
por ejemplo, para ,
- . (Observe ω(x,0) = x.)
La función de Abel α(x) proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie (un parámetro, los grupos de Lie).
Historia[editar]
Inicialmente, se informó la ecuación en la forma más general.[2][3] Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial.[4][5][6]
En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta.[7]
Casos especiales[editar]
La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con f = exp.
En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,
y así,
Soluciones[editar]
- solución formal: único (a una constante)[8]
- soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) = aproximación por expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor del punto fijo parabólico[9]
Las coordenadas de Fatou describen la dinámica local de un sistema dinámico discreto cerca de un punto fijo parabólico.
Véase también[editar]
- Ecuación funcional
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
- Función iterada
- Operador de turno
- Superfunción
Referencias[editar]
- ↑ Aczél, János , (1966): Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , reimpreso por Dover Publications,
- ↑ Abel, N.H. (1826). «Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ...». Journal für die reine und angewandte Mathematik 1: 11-15.
- ↑ A. R. Schweitzer (1912). «Theorems on functional equations». Bull. Amer. Math. Soc. 19 (2): 51-106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4.
- ↑ Korkine, A. (1882). «Sur un problème d’interpolation (Extrait d’une lettre à M. Hermite)». Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques. 2 6 (1): 228-242.
- ↑ G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). «The real-analytic solutions of the Abel functional equations». Studia Mathematica 134 (2): 135-141.
- ↑ Jitka Laitochová (2007). «Group iteration for Abel’s functional equation». Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 1 (1): 95-102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002.
- ↑ G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). «The Abel equation and total solvability of linear functional equations». Studia Mathematica 127: 81-89.
- ↑ Clasificaciones de gérmenes parabólicos y propiedades fractales de las órbitas por Maja Resman, Universidad de Zagreb, Croacia
- ↑ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis