Relación reflexiva

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$, es reflexiva o refleja si todo elemento de $A$ está relacionado consigo mismo mediante $R$.

Es decir,

$\forall x\in A,\;xRx$

En tal caso, decimos que $R$ cumple con la propiedad de reflexividad.

La aplicación de cualquier relación $R$ sobre un conjunto $A$, se representa con el par ordenado $(A,R)$.

Representación

Sea $R$ una relación reflexiva aplicada sobre un conjunto $A$, entonces $R$ tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

• Como pares ordenados, $\forall x\in A,\;(x,x)\in R$

• Como matriz de adyacencia, la diagonal principal de la matriz contendrá sólo 1's, es decir, $\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=1.$

• Como grafo, éste contendrá bucles en todos sus nodos.

Ejemplos

Sea $A$ un conjunto cualquiera:

• Sea $(A,\cup )$, $\cup$ es reflexiva, porque todo conjunto esta contenido en sí mismo.

• Sea $(A,\geq )$, $\geq$ ("mayor o igual que") es reflexiva, pero $>\,$ ("mayor estricto que") no lo es.

• Sea $(A,\leq )$, $\leq$ ("menor o igual que") es reflexiva, pero $<\,$ ("menor estricto que") no lo es.

• Sea $(A,=)\,$, $=\,$ (la igualdad matemática), es reflexiva.
• Sea $(A,\subseteq )$, $\subseteq$ (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
• Sea $(\mathbb {N} \backslash \{0\},\backslash )$, $\backslash \,$ (la divisibilidad) es reflexiva.

• Sea $X$ el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.