Relación simétrica

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante $R$, entonces ese otro también está relacionado con el primero.

Es decir,

$\forall x,y\in A,\ xRy\Rightarrow yRx$

En tal caso, decimos que $R$ cumple con la propiedad de simetría.

La aplicación de cualquier relación $R$ sobre un conjunto $A$, se representa con el par ordenado $(A,R)$.

Representación

Sea $R$ una relación simétrica aplicada sobre un conjunto $A$, entonces $R$ tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

• Como pares ordenados, $\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R$

• Como matriz de adyacencia $M\,$, la matriz transpuesta $M^{t}=M\,.$

• Como grafo, es un grafo que se puede representar como grafo no dirigido.

Ejemplos

Sea $A$ un conjunto cualquiera:

• Sea $(A,=)\,$, $=\,$ (la igualdad matemática), es simétrica.

• Sea $(A,\cup )$, $\cup$ es simétrica.

• "Estar casado con" es una relación simétrica, mientras que "ser más alto que" no lo es.

Simetría $\neq$ Antisimetría

La simetría no es lo opuesto de la antisimetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad), otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").