Leyes de Fick

La ley de Fick es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre Adolf Fick, que las derivó en 1855.

En situaciones en las que existen gradientes de concentración de una sustancia, o de temperatura, se produce un flujo de partículas o de calor que tiende a homogeneizar la disolución y uniformizar la concentración o la temperatura. El flujo homogeneizador es una consecuencia estadística del movimiento azaroso de las partículas que da lugar al segundo principio de la termodinámica, conocido también como movimiento térmico casual de las partículas. Así los procesos físicos de difusión pueden ser vistos como procesos físicos o termodinámicos irreversibles.

Formulación

En el caso de existir diferencias de concentración de una especie, el paseo aleatorio de las moleculas hará esta se difundirá desde las regiones con mayor concentración hacia las regiones de menor concentración. El flujo de sustancia irá en el sentido opuesto del gradiente de concentración y, si éste es débil, podrá aproximarse por el primer término de la serie de Taylor, resultando la ley de Fick:

(1a)$\mathbf {j} =-D\ {\boldsymbol {\nabla }}c$

siendo $D$ el coeficiente de difusión de la especie de concentración $c$. En el caso particular del calor, la ley de Fick se conoce como ley de Fourier y se escribe como

(1b)$\mathbf {q} =-k\ {\boldsymbol {\nabla }}T$

siendo $k\,$ la conductividad térmica.

Tomando la ley de conservación integral para la especie c, y aplicándole a esta última el teorema de Stokes se tiene:

(2a)${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}c\ dV=-\int _{\partial V}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} \quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial c}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} =0$

Combinando el resultado anterior (2a) con la ley de Fick (1a) resulta la ecuación de difusión o segunda ley de Fick:

(3a)${\frac {\partial c}{\partial t}}-D\nabla ^{2}c={\frac {\partial c}{\partial t}}-D\left({\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c}{\partial z^{2}}}\right)=0$

Si existe producción o destrucción de la especie (por una reacción química), a esta ecuación debe añadirse un término de fuente en el segundo miembro.

Para el caso particular de la temperatura, si se aplica que la energía interna es proporcional a la temperatura, el resultado es la ecuación del calor.

(2b)${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}C_{m}(T-T_{0})\ dV=-\int _{\partial V}\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} +\int _{V}{\dot {Q}}\ dV\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial (C_{m}T)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\dot {Q}}$

(3b)$C_{m}{\frac {\partial T}{\partial t}}-k\nabla ^{2}T={\dot {Q}}$

con $C_{m}\,$ la capacidad calorífica y ${\dot {Q}}$ la cantidad de calor generada internamente, si el medio es simplemente un conductor sin generación interna de calor ${\dot {Q}}=0$