Diferencia entre revisiones de «Relación reflexiva»
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* Sea <math>(A, \cup)</math>, <math>\cup</math> es reflexiva, porque todo conjunto esta contenido en sí mismo. |
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* Sea <math>(A, \ge)</math>, <math>\ge</math> ("mayor o igual que") es reflexiva, pero <math>>\,</math> ("mayor estricto que") no lo es. |
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* Sea <math>(A, \le)</math>, <math>\le</math> ("menor o igual que") es reflexiva, pero <math><\,</math> ("menor estricto que") no lo es. |
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* Sea <math>(A, =)\,</math>, <math>=\,</math> (la [[igualdad matemática]]), es reflexiva. |
* Sea <math>(A, =)\,</math>, <math>=\,</math> (la [[igualdad matemática]]), es reflexiva. |
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* Sea <math>(A, \subseteq)</math>, <math>\subseteq</math> (la inclusión de [[conjunto]]s), es reflexiva. |
* Sea <math>(A, \subseteq)</math>, <math>\subseteq</math> (la inclusión de [[conjunto]]s), es reflexiva. |
Revisión del 17:24 24 jun 2009
Una relación binaria R sobre un conjunto A, es reflexiva o refleja si todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R.
Es decir,
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).
Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es antirreflexiva, antirrefleja o irreflexiva, lo que denotamos formalmente por:
En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.
Representación
Sea una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.
Notación | Relación reflexiva | Relación antirreflexiva |
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Como pares ordenados | ||
Como matriz de adyacencia | La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 1's, es decir, | La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 0's, es decir, |
Como grafo | El grafo contendrá bucles en todos sus nodos. | El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos. |
Ejemplos
Sea A un conjunto cualquiera:
- Sea , es reflexiva, porque todo conjunto esta contenido en sí mismo.
- Sea , ("mayor o igual que") es reflexiva, pero ("mayor estricto que") no lo es.
- Sea , ("menor o igual que") es reflexiva, pero ("menor estricto que") no lo es.
- Sea , (la igualdad matemática), es reflexiva.
- Sea , (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
- Sea , (la divisibilidad) es reflexiva.
- Sea el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
- Sea , ("mayor estricto que") es antirreflexiva, al igual que ("menor estricto que").
- Sea el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
- Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.