Conjunto infinito

En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es cualquier conjunto que no pueda ponerse en biyección con ningún número natural.

Conjunto numerables

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el axioma de infinitud permite la construcción del conjunto de números naturales, $\mathbb {N}$, que es el menor de los conjuntos infinitos. Si un conjunto infinito puede ponerse en biyección con $\mathbb {N}$, éste se dice numerable. Cualquier conjunto infinito de mayor cardinal que $\mathbb {N}$ se dice no numerable.

Incluyendo el axioma de elección, puede probarse que todo conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.

Dos definiciones de infinitud

La definición de conjunto infinito dada más arriba es la más usual, pero no es la única. En ocasiones se define un conjunto infinito como aquél que puede ponerse en biyección con un subconjunto propio de sí mismo. Puesto que esta definición de infinitud es distinta a la primera, suele distinguirse por el nombre de infinitud de Dedekind, y un conjunto infinito de este tipo se dice conjunto infinito de Dedekind. Por otro lado, la primera definición que aquí aparece de infinitud se debe a Peano, y por ello, los conjuntos que cumplan con ella son conjuntos infinitos de Peano.

Ciertamente, todo conjunto infinito de Dedekind es un conjunto infinito de Peano, pero lo recíproco no es verdadero a menos que se suponga el axioma de elección, por lo que estos dos conceptos son, efectivamente, distintos.

Véase también: número infinito.