Media (matemáticas)

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

Ejemplos de medias

Media aritmética

La media aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina "promedio".

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda. La media o moda son elementos intuitivos de medir los datos. Es a veces una forma de medir el sesgo de una distribución tal y como se puede hacer en las distribuciones exponencial y de Poisson.

Por ejemplo, la media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es de:

${\tfrac {34+27+45+55+22+34}{6}}\ ={\tfrac {217}{6}}\cong 36,167$

Media aritmética ponderada

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ es un conjunto de datos o media muestral y $w_{1},w_{2},...,w_{n}$ son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como:

${\bar {X}}_{w}={\frac {X_{1}\cdot w_{1}+X_{2}\cdot w_{2}+...+X_{n}\cdot w_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}\cdot w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$

La media es invariante frente a transformaciones lineales, cambio de origen y escala, de las variables, es decir si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X, es decir, Y = a·X + b (donde a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen) se tiene que:

${\bar {Y}}=a{\bar {X}}+b$

Media geométrica

La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{1/n}$

Por ejemplo, la media geométrica de la serie de números 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es de: (34×27×45×55×22×34)

^1/6 = 1,699,493,400^1/6 ≈ 34.545.

Media armónica

La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).

${\bar {x}}=n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}$

Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

${\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}\approx 33,0179836.$

Generalizaciones de la media

Existen diversas generalizaciones de las medias anteriores.

Media generalizada

Las medias generalizadas, también conocidas como medias de Hölder, son una abstracción de las medias cuadráticas, aritméticas, geométricas y armónicas. Se definen y agrupan a través de la siguiente expresión:

${\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{1/m}$

Eligiendo un valor apropiado del parámetro m, se tiene:

• $m\rightarrow \infty$ - máximo,
• $m=2\,$ - media cuadrática,
• $m=1\,$ - media aritmética,
• $m\rightarrow 0$ - media geométrica,
• $m=-1\,$ - media armónica,
• $m\rightarrow -\infty$ - mínimo.

Media-f generalizada

Esta media puede generalizarse como la media-f generalizada:

${\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

y una forma posible de de invertir $f$ nos dará

• $f(x)=x\,$ - media aritmética,
• $f(x)={\frac {1}{x}}$ - media armónica,
• $f(x)=x^{m}\,$ - media generalizada,
• $f(x)=\ln x\,$ - media geométrica.

Véase también

Otras medias estadísticas son:

• la media cuadrática.
• la media aritmética geométrica.
• la media heroniana.

Bibliografía

• Real Academia Española (2001). Diccionario de la lengua española (vigésima segunda edición).